数学2 三角関数 問題 27 解説

方針・初手

$\sin x$ と $\cos x$ の1次の和であるから、三角関数の合成を用いて1つの正弦（$\sin$）の式にまとめる。その後、合成された角の変域に注意して方程式を解く。

解法1

方程式 $\sin x - \sqrt{3} \cos x = 1$ の左辺を合成する。

$$\sin x - \sqrt{3} \cos x = 2 \left( \sin x \cdot \frac{1}{2} - \cos x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 2 \sin \left( x - \frac{\pi}{3} \right)$$

よって、与えられた方程式は次のように変形できる。

$$2 \sin \left( x - \frac{\pi}{3} \right) = 1$$

$$\sin \left( x - \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{2}$$

ここで、$0 \leqq x < 2\pi$ であるから、角 $x - \frac{\pi}{3}$ のとりうる値の範囲は以下のようになる。

$$-\frac{\pi}{3} \leqq x - \frac{\pi}{3} < \frac{5}{3}\pi$$

この範囲において、$\sin \left( x - \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{2}$ を満たす $x - \frac{\pi}{3}$ の値は次の通りである。

$$x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6}, \frac{5}{6}\pi$$

それぞれについて $x$ の値を求める。

$x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6}$ のとき、

$$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$$

$x - \frac{\pi}{3} = \frac{5}{6}\pi$ のとき、

$$x = \frac{5}{6}\pi + \frac{\pi}{3} = \frac{7}{6}\pi$$

したがって、方程式の解は $x = \frac{\pi}{2}, \frac{7}{6}\pi$ となる。問題文に示された $x = \frac{\pi}{2}$ 以外の解が求めるものである。

解説

$a \sin x + b \cos x = c$ の形の方程式は、三角関数の合成を利用して解くのが定石である。合成を行った後は、偏角（ここでは $x - \frac{\pi}{3}$）の変域を正確に求め、その範囲内で解を探すことが重要である。変域の確認を怠ると、解を見落としたり、範囲外の解を答えてしまう原因になる。

答え

$\frac{7}{6}\pi$