数学2 三角関数 問題 29 解説

方針・初手

(1) 教科書通りに、座標平面上の円と動径の交点の座標を用いて三角関数を定義する。

(2) (1) で定めた定義から直接導かれる性質（2点間の距離の公式、図形の回転移動など）を用いて加法定理を導出する。一般角について証明するため、単位円上の点と原点との距離、および回転移動による線分の長さの不変性を利用するのが最も論理の飛躍が少なく簡明である。

解法1

(1) $xy$ 座標平面において、原点 O を極とし、$x$ 軸の正の部分を始線とする。 原点 O を中心とする半径 $r$（$r>0$）の円を描く。 始線から測った一般角 $\theta$ の動径と、この円との交点を $P(x, y)$ とするとき、$\sin\theta$ および $\cos\theta$ を次のように定義する。

$$\sin\theta = \frac{y}{r}, \quad \cos\theta = \frac{x}{r}$$

(2) (1) の定義において $r=1$ とした単位円を用いて考える。 任意の角 $\theta$ に対して、動径と単位円の交点の座標は $(\cos\theta, \sin\theta)$ となる。 この交点は単位円 $x^2 + y^2 = 1$ 上にあるため、定義より

$$\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 \quad \cdots ①$$

が常に成り立つ。

座標平面上に2点 $P(\cos(\alpha+\beta), \sin(\alpha+\beta))$ と $A(1, 0)$ をとる。 2点間の距離の公式より、線分 $AP$ の長さの2乗は、

$$AP^2 = (\cos(\alpha+\beta) - 1)^2 + (\sin(\alpha+\beta) - 0)^2$$

$$= \cos^2(\alpha+\beta) - 2\cos(\alpha+\beta) + 1 + \sin^2(\alpha+\beta)$$

①を用いると、

$$AP^2 = 2 - 2\cos(\alpha+\beta) \quad \cdots ②$$

となる。

次に、図形全体（2点 $P, A$）を原点 O の周りに $-\alpha$ だけ回転移動させた点をそれぞれ $P', A'$ とする。 点 $P$ は角 $\alpha+\beta$ の動径上の点であるから、$-\alpha$ 回転させると角 $\beta$ の動径上の点となり、座標は $P'(\cos\beta, \sin\beta)$ である。 点 $A$ は角 $0$ の動径上の点であるから、$-\alpha$ 回転させると角 $-\alpha$ の動径上の点となり、座標は $A'(\cos(-\alpha), \sin(-\alpha))$ である。

ここで、(1) の定義から、角 $-\alpha$ の動径と単位円の交点は、角 $\alpha$ の動径と単位円の交点 $(\cos\alpha, \sin\alpha)$ と $x$ 軸に関して対称な位置にあるため、

$$\cos(-\alpha) = \cos\alpha, \quad \sin(-\alpha) = -\sin\alpha$$

が成り立つ。よって、$A'(\cos\alpha, -\sin\alpha)$ となる。

2点間の距離の公式より、線分 $A'P'$ の長さの2乗は、

$$A'P'^2 = (\cos\beta - \cos\alpha)^2 + (\sin\beta - (-\sin\alpha))^2$$

$$= (\cos^2\beta - 2\cos\alpha\cos\beta + \cos^2\alpha) + (\sin^2\beta + 2\sin\alpha\sin\beta + \sin^2\alpha)$$

式を整理し①を用いると、

$$A'P'^2 = (\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) + (\cos^2\beta + \sin^2\beta) - 2(\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta)$$

$$= 2 - 2(\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta) \quad \cdots ③$$

となる。

回転移動によって線分の長さは不変であるから、$AP^2 = A'P'^2$ が成り立つ。 ②、③より、

$$2 - 2\cos(\alpha+\beta) = 2 - 2(\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta)$$

$$\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta \quad \cdots ④$$

となり、$\cos$ についての加法定理が示された。

続いて、$\sin$ についての加法定理を示す。 (1) の定義において、任意の角 $\theta$ の動径上の単位円上の点 $(x, y) = (\cos\theta, \sin\theta)$ を原点の周りに $\frac{\pi}{2}$ 回転させると、点 $(-y, x)$ に移る。 この点は角 $\theta + \frac{\pi}{2}$ の動径上の点であるから、

$$\cos\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) = -y = -\sin\theta$$

$$\sin\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) = x = \cos\theta$$

が成り立つ。 ④の式において、$\alpha$ を $\alpha + \frac{\pi}{2}$ に置き換えると、

$$\cos\left(\left(\alpha+\frac{\pi}{2}\right) + \beta\right) = \cos\left(\alpha+\frac{\pi}{2}\right)\cos\beta - \sin\left(\alpha+\frac{\pi}{2}\right)\sin\beta$$

左辺は $\cos\left((\alpha+\beta) + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin(\alpha+\beta)$ となる。 右辺は $(-\sin\alpha)\cos\beta - (\cos\alpha)\sin\beta$ となる。 したがって、

$$-\sin(\alpha+\beta) = -\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$$

両辺に $-1$ を掛けて、

$$\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$$

となり、$\sin$ についての加法定理も示された。

解説

数学の基本概念に対する深い理解を問う非常に有名な問題である。単に公式を暗記しているだけでなく、その根底にある定義を正確に述べ、そこからどのように定理が導かれるかを論理的に説明できるかが問われている。

(2)の証明では、「(1)で述べた定義にもとづき」という制約があるため、ベクトルや余弦定理を無批判に用いるのではなく、定義に直結する座標や2点間の距離、図形の回転移動を用いる方法が最も安全で確実である。

証明の途中で現れる $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ や $\cos(-\alpha)=\cos\alpha$、$\sin(\theta+\frac{\pi}{2})=\cos\theta$ などの基本的な性質を用いる際にも、それらが「なぜ(1)の定義から言えるのか」を簡潔に補足しておくことで、論理の飛躍がない答案となる。

答え

(1)

$xy$ 座標平面において、原点を中心とする半径 $r$（$r>0$）の円と、始線（$x$ 軸の正の部分）から測った一般角 $\theta$ の動径との交点の座標を $(x, y)$ とするとき、$\sin\theta = \frac{y}{r}$、$\cos\theta = \frac{x}{r}$ と定義する。

(2)

証明は本文解法1の通り。