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数学2 三角関数問題 30 解説

方針・初手

点 A の座標を $\theta$ を用いて表し、正方形の性質（原点を中心とする $90^\circ$ 回転や原点対称など）を利用して他の頂点の座標を順次求める。各問とも、2点を通る直線の方程式を導出し、座標軸との交点の座標を計算していく。(4) では、交点の $x$ 座標を求める過程で得られる分母の式に対して三角関数の合成を用い、その最大値を考えることで線分長の最小値を求める。

解法1

(1)

点 A は半径 1 の円周上にあり、OA と $x$ 軸のなす角が $\theta$ であるから、

$$A(\cos\theta, \sin\theta)$$

と表せる。正方形 ABCD は原点 O を中心とする円に内接しているため、頂点 D は頂点 A を原点 O の周りに $-90^\circ$ 回転させた点である。よって、D の座標を $(x_D, y_D)$ とすると、

$$x_D = \cos\theta \cos(-90^\circ) - \sin\theta \sin(-90^\circ) = \sin\theta$$

$$y_D = \sin\theta \cos(-90^\circ) + \cos\theta \sin(-90^\circ) = -\cos\theta$$

したがって、

$$D(\sin\theta, -\cos\theta)$$

(2)

(i) $\cos\theta - \sin\theta \neq 0$ すなわち $\theta \neq 45^\circ$ のとき

(1) より、直線 AD の傾きは

$$\frac{-\cos\theta - \sin\theta}{\sin\theta - \cos\theta} = \frac{\cos\theta + \sin\theta}{\cos\theta - \sin\theta}$$

となる。よって、直線 AD の方程式は

$$y - \sin\theta = \frac{\cos\theta + \sin\theta}{\cos\theta - \sin\theta}(x - \cos\theta)$$

点 E は直線 AD と $x$ 軸の交点であるから、$y=0$ を代入して

$$-\sin\theta = \frac{\cos\theta + \sin\theta}{\cos\theta - \sin\theta}(x - \cos\theta)$$

$$x - \cos\theta = \frac{-\sin\theta(\cos\theta - \sin\theta)}{\cos\theta + \sin\theta}$$

$$x = \cos\theta + \frac{-\sin\theta\cos\theta + \sin^2\theta}{\cos\theta + \sin\theta}$$

$$x = \frac{\cos^2\theta + \sin\theta\cos\theta - \sin\theta\cos\theta + \sin^2\theta}{\cos\theta + \sin\theta}$$

$$x = \frac{1}{\cos\theta + \sin\theta}$$

したがって、

$$E\left(\frac{1}{\cos\theta + \sin\theta}, 0\right)$$

(ii) $\theta = 45^\circ$ のとき

点 A は $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$、点 D は $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ となり、直線 AD は $y$ 軸に平行な直線 $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ となる。このときの交点 E は $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 0\right)$ であり、これは (i) で求めた式に $\theta = 45^\circ$ を代入したものと一致する。

以上より、

$$E\left(\frac{1}{\cos\theta + \sin\theta}, 0\right)$$

(3)

頂点 B は頂点 A を原点 O の周りに $90^\circ$ 回転させた点であるから、B の座標は

$$B(-\sin\theta, \cos\theta)$$

となる。直線 AB の傾きは

$$\frac{\cos\theta - \sin\theta}{-\sin\theta - \cos\theta} = \frac{\sin\theta - \cos\theta}{\sin\theta + \cos\theta}$$

となる。よって、直線 AB の方程式は

$$y - \sin\theta = \frac{\sin\theta - \cos\theta}{\sin\theta + \cos\theta}(x - \cos\theta)$$

点 F は直線 AB と $y$ 軸の交点であるから、$x=0$ を代入して

$$y = \frac{\sin\theta - \cos\theta}{\sin\theta + \cos\theta}(-\cos\theta) + \sin\theta$$

$$y = \frac{-\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta + \sin^2\theta + \sin\theta\cos\theta}{\sin\theta + \cos\theta}$$

$$y = \frac{1}{\sin\theta + \cos\theta}$$

したがって、$F\left(0, \frac{1}{\sin\theta + \cos\theta}\right)$ である。 $\triangle$FOA の面積は、底辺を OF、高さを点 A の $x$ 座標の絶対値（$0^\circ < \theta < 90^\circ$ より $\cos\theta > 0$）と考えればよいので、

$$\triangle\text{FOA} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sin\theta + \cos\theta} \cdot \cos\theta = \frac{\cos\theta}{2(\sin\theta + \cos\theta)}$$

(4)

頂点 C は頂点 A に関して原点対称な点であるから、$C(-\cos\theta, -\sin\theta)$ である。 (1) で求めた $D(\sin\theta, -\cos\theta)$ を用いると、線分 CD の中点 G の座標は

$$G\left(\frac{-\cos\theta + \sin\theta}{2}, \frac{-\sin\theta - \cos\theta}{2}\right)$$

となる。

(i) $3\cos\theta - \sin\theta \neq 0$ すなわち $\tan\theta \neq 3$ のとき

直線 AG の傾きは

$$\frac{\frac{-\sin\theta - \cos\theta}{2} - \sin\theta}{\frac{-\cos\theta + \sin\theta}{2} - \cos\theta} = \frac{-\sin\theta - \cos\theta - 2\sin\theta}{-\cos\theta + \sin\theta - 2\cos\theta} = \frac{-3\sin\theta - \cos\theta}{\sin\theta - 3\cos\theta} = \frac{3\sin\theta + \cos\theta}{3\cos\theta - \sin\theta}$$

となる。よって、直線 AG の方程式は

$$y - \sin\theta = \frac{3\sin\theta + \cos\theta}{3\cos\theta - \sin\theta}(x - \cos\theta)$$

点 H は直線 AG と $x$ 軸の交点であるから、$y=0$ を代入して

$$-\sin\theta = \frac{3\sin\theta + \cos\theta}{3\cos\theta - \sin\theta}(x - \cos\theta)$$

$$x - \cos\theta = \frac{-\sin\theta(3\cos\theta - \sin\theta)}{3\sin\theta + \cos\theta} = \frac{-3\sin\theta\cos\theta + \sin^2\theta}{3\sin\theta + \cos\theta}$$

$$x = \cos\theta + \frac{\sin^2\theta - 3\sin\theta\cos\theta}{3\sin\theta + \cos\theta}$$

$$x = \frac{3\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta + \sin^2\theta - 3\sin\theta\cos\theta}{3\sin\theta + \cos\theta} = \frac{1}{3\sin\theta + \cos\theta}$$

(ii) $\tan\theta = 3$ のとき

点 A と点 G の $x$ 座標が等しくなり、直線 AG は $y$ 軸に平行となるため、点 H の $x$ 座標は点 A の $x$ 座標と同じ $\cos\theta$ になる。これは (i) で求めた式に $\sin\theta = 3\cos\theta$ を代入して得られる $x = \frac{1}{10\cos\theta} = \frac{\cos^2\theta + \sin^2\theta}{10\cos\theta} = \frac{\cos^2\theta + 9\cos^2\theta}{10\cos\theta} = \cos\theta$ と一致する。

以上より、H の座標は $\left(\frac{1}{3\sin\theta + \cos\theta}, 0\right)$ である。 $0^\circ < \theta < 90^\circ$ において、$3\sin\theta + \cos\theta > 0$ であるから、点 H は $x$ 軸の正の部分にある。したがって、線分 OH の長さは

$$\text{OH} = \frac{1}{3\sin\theta + \cos\theta}$$

となる。 OH が最小になるのは、分母 $3\sin\theta + \cos\theta$ が最大になるときである。三角関数の合成を用いると、

$$3\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{10}\sin(\theta + \alpha)$$

ここで $\alpha$ は

$$\cos\alpha = \frac{3}{\sqrt{10}}, \quad \sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{10}}$$

を満たす鋭角（$0^\circ < \alpha < 90^\circ$）である。 $\theta$ は $0^\circ < \theta < 90^\circ$ の範囲を動くので、$\theta + \alpha = 90^\circ$ となる $\theta$ が存在する。このとき $\sin(\theta + \alpha) = 1$ となり、$3\sin\theta + \cos\theta$ は最大値 $\sqrt{10}$ をとる。したがって、OH の最小値は $\frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$ である。また、最小値を与える $\theta$ は $\theta = 90^\circ - \alpha$ であり、

$$\tan\theta = \tan(90^\circ - \alpha) = \frac{1}{\tan\alpha}$$

$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{1}{3}$ であるから、

$$\tan\theta = 3$$

となる。

解説

正方形の頂点座標は、ある一つの頂点を基準にして原点を中心とした $90^\circ$ 回転を考えることで簡潔に求められる。直線の方程式の導出や交点の計算過程において、文字式が複雑になりやすいが、$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を用いて分子を定数化する処理が頻出するため、計算を諦めずに進めることが重要である。直線の傾きが定義できない（分母が $0$ になる）場合が存在するが、結果として得られた一般式は特異点でも成立する形になることが多い。しかし、厳密な解答を目指すためには場合分けを記述することが望ましい。最大値・最小値を求める問題では、変数が複数存在するように見えても、三角関数の合成を利用して一つの正弦関数にまとめるという定石が有効である。