数学2 三角関数 問題 33 解説

方針・初手

与えられた方程式には角 $\theta$ と $2\theta$ が混在しているため、まずは角を $\theta$ に統一する。 2倍角の公式 $\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ を用いて式を変形し、共通因数でくくることで、基本的な三角方程式に帰着させる。

解法1

与えられた方程式は以下の通りである。

$$\sin 2\theta - 2\sqrt{3} \cos^2 \theta - 2\sqrt{2} \cos \theta = 0$$

2倍角の公式 $\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ を用いて変形する。

$$2\sin\theta\cos\theta - 2\sqrt{3}\cos^2\theta - 2\sqrt{2}\cos\theta = 0$$

両辺を $2$ で割り、共通因数である $\cos\theta$ でくくる。

$$\cos\theta (\sin\theta - \sqrt{3}\cos\theta - \sqrt{2}) = 0$$

したがって、以下の方程式 (i) または (ii) が成り立つ。

(i) $\cos\theta = 0$ (ii) $\sin\theta - \sqrt{3}\cos\theta - \sqrt{2} = 0$

$0 \leqq \theta \leqq \pi$ の範囲でそれぞれの方程式を解く。

(i) $\cos\theta = 0$ のとき

$0 \leqq \theta \leqq \pi$ より、

$$\theta = \frac{\pi}{2}$$

(ii) $\sin\theta - \sqrt{3}\cos\theta - \sqrt{2} = 0$ のとき

式を変形すると、

$$\sin\theta - \sqrt{3}\cos\theta = \sqrt{2}$$

左辺に三角関数の合成を用いると、

$$2 \sin\left(\theta - \frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{2}$$

$$\sin\left(\theta - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

ここで、$0 \leqq \theta \leqq \pi$ であるから、$\theta - \frac{\pi}{3}$ のとりうる値の範囲は以下のようになる。

$$-\frac{\pi}{3} \leqq \theta - \frac{\pi}{3} \leqq \frac{2}{3}\pi$$

この範囲において $\sin\left(\theta - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ を満たす値は、

$$\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{4}$$

したがって、

$$\theta = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} = \frac{7}{12}\pi$$

以上 (i), (ii) より、求める $\theta$ の値は $\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{7}{12}\pi$ である。

解説

三角方程式を解くための基本的なアプローチが問われている。「角の統一」と「因数分解」が第一手となる。 $\sin 2\theta$ を展開して $\cos\theta$ でくくった後、$\sin$ と $\cos$ の1次の項が残るため、「三角関数の合成」を用いてひとつの三角関数にまとめる。 合成によって角が $\theta - \frac{\pi}{3}$ に変化するため、方程式を解く際には角のとりうる値の範囲に注意する必要がある。

答え

$\theta = \frac{\pi}{2}$

$\theta = \frac{7}{12}\pi$