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数学2 三角関数問題 34 解説

方針・初手

与えられた式 $f(x) = \sin x - \sqrt{3} \cos x$ に対して三角関数の合成を行い、$2\sin(x - \alpha)$ の形に変形する。合成によって得られた $\alpha$ が条件 $0 \leqq \alpha < \pi$ を満たすか確認する。また、$x$ の変域から $x - \alpha$ の変域を求め、サイン関数が最大値をとるときの $x$ の値を計算する。

解法1

与えられた関数 $f(x)$ は以下のように変形できる。

$$f(x) = \sin x - \sqrt{3} \cos x$$

$$f(x) = 2 \left( \sin x \cdot \frac{1}{2} - \cos x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$$

$$f(x) = 2 \left( \sin x \cos \frac{\pi}{3} - \cos x \sin \frac{\pi}{3} \right)$$

加法定理より、次のように合成される。

$$f(x) = 2 \sin \left( x - \frac{\pi}{3} \right)$$

問題の条件より $f(x) = 2 \sin(x - \alpha)$ であり、$0 \leqq \alpha < \pi$ であるから、比較して

$$\alpha = \frac{\pi}{3}$$

となる。

次に、$f(x)$ が最大となるときの $x$ の値を求める。定義域が $0 \leqq x \leqq 2\pi$ であるから、角 $x - \frac{\pi}{3}$ の取りうる値の範囲は

$$-\frac{\pi}{3} \leqq x - \frac{\pi}{3} \leqq \frac{5}{3}\pi$$

となる。 $f(x) = 2 \sin \left( x - \frac{\pi}{3} \right)$ が最大となるのは、$\sin \left( x - \frac{\pi}{3} \right) = 1$ のときである。上記の範囲において、これを満たす角は

$$x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$$

のみである。これを解いて $x$ を求める。

$$x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} = \frac{5}{6}\pi$$

解説

三角関数の合成に関する基本的な問題である。合成公式 $a \sin \theta + b \cos \theta = \sqrt{a^2 + b^2} \sin(\theta + \beta)$ （ただし $\cos \beta = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}, \sin \beta = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$）を正確に適用することが求められる。また、関数の最大値・最小値を考える際には、合成後の角度の取りうる範囲を必ず確認し、その範囲内に最大値を与える角度が含まれているかを調べる手順を忘れないようにしたい。