数学2 三角関数 問題 35 解説

方針・初手

与えられた正接の値から、正接の加法定理を用いて $\tan(\alpha + \beta)$ の値を計算する。その後、$\alpha, \beta$ の条件から $\alpha + \beta$ のとりうる角度の範囲を絞り込み、具体的な角度を特定する。

解法1

正接の加法定理より、$\tan(\alpha + \beta)$ は次のように計算できる。

$$\begin{aligned} \tan(\alpha + \beta) &= \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} \\ &= \frac{\frac{1}{5} + \frac{2}{3}}{1 - \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{3}} \\ &= \frac{\frac{3+10}{15}}{1 - \frac{2}{15}} \\ &= \frac{\frac{13}{15}}{\frac{13}{15}} \\ &= 1 \end{aligned}$$

ここで、$\alpha + \beta$ のとりうる範囲について考える。

問題の条件より $0^\circ < \alpha < 90^\circ$、$0^\circ < \beta < 90^\circ$ であるため、辺々を足し合わせて以下の範囲を得る。

$$0^\circ < \alpha + \beta < 180^\circ$$

この範囲において、$\tan(\alpha + \beta) = 1$ を満たす角度はただ1つに定まる。

$$\alpha + \beta = 45^\circ$$

（より厳密には、$\tan \alpha = \frac{1}{5} < 1 = \tan 45^\circ$ より $0^\circ < \alpha < 45^\circ$、同様に $\tan \beta = \frac{2}{3} < 1 = \tan 45^\circ$ より $0^\circ < \beta < 45^\circ$ であるから、$0^\circ < \alpha + \beta < 90^\circ$ と範囲を絞り込むこともできる。）

したがって、空欄④に入る値は $45$ である。

解説

正接の加法定理を用いて角度の和を求める、三角関数の基本的な典型問題である。$\tan$ の値から角度を逆算する際、単に計算結果から角度を予測するだけでなく、問題文で与えられた $\alpha, \beta$ の範囲から $\alpha + \beta$ のとりうる角度の範囲を論理的に確認することが重要である。本問では $0^\circ < \alpha + \beta < 180^\circ$ の範囲で正接が正の値をとるため、第1象限の角（鋭角）であると確定できる。

答え

45