数学2 三角関数 問題 37 解説

方針・初手

正弦定理を利用して、与えられた正弦の比を辺の長さの比に変換する。その後、余弦定理を用いて $\cos A$ の値を求め、最後に2倍角の公式を用いて $\cos 2A$ を計算する。

解法1

$\triangle\text{ABC}$ の外接円の半径を $R$ とし、角 $A, B, C$ の対辺の長さをそれぞれ $a, b, c$ とすると、正弦定理より以下の関係が成り立つ。

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$

これより、$\sin A = \frac{a}{2R}$ などとなるため、正弦の比は辺の長さの比に等しいことがわかる。

$$a : b : c = \sin A : \sin B : \sin C$$

条件より $\sin A : \sin B : \sin C = 2 : 3 : 4$ であるから、辺の比は次のようになる。

$$a : b : c = 2 : 3 : 4$$

したがって、正の実数 $k$ を用いて、各辺の長さを以下のように表すことができる。

$$\begin{aligned} a &= 2k \\ b &= 3k \\ c &= 4k \end{aligned}$$

ここで、余弦定理を用いて $\cos A$ の値を計算する。

$$\begin{aligned} \cos A &= \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \\ &= \frac{(3k)^2 + (4k)^2 - (2k)^2}{2 \cdot 3k \cdot 4k} \\ &= \frac{9k^2 + 16k^2 - 4k^2}{24k^2} \\ &= \frac{21k^2}{24k^2} \\ &= \frac{7}{8} \end{aligned}$$

次に、2倍角の公式を用いて $\cos 2A$ の値を求める。

$$\begin{aligned} \cos 2A &= 2\cos^2 A - 1 \\ &= 2 \left( \frac{7}{8} \right)^2 - 1 \\ &= 2 \cdot \frac{49}{64} - 1 \\ &= \frac{49}{32} - \frac{32}{32} \\ &= \frac{17}{32} \end{aligned}$$

問題文の $\frac{\text{[①]}}{32}$ と比較して、①に当てはまる値は $17$ である。

解説

正弦定理を比の形で用いる手法は、図形と計量の分野における基本かつ頻出の手法である。正弦の比がそのまま辺の比になることを直ちに見抜き、余弦定理へと繋げる流れを確実に押さえておく必要がある。$\cos A$ の値が正であることから角 $A$ は鋭角であることなどがわかるが、本問では単に計算を進めるだけで $\cos 2A$ の値を得ることができる。

答え

$17$