数学2 三角関数 問題 47 解説

方針・初手

外接円の半径が与えられていることから、まずは正弦定理を用いて辺の長さと角度の関係を紐解くのが基本である。長さ $\sqrt{3}$ の辺の対角は正弦定理により定まるため、そこからアプローチする。その後は、残りの角を変数に置いて正弦定理と加法定理を用いる方法と、辺を変数として余弦定理を用いて方程式を解く方法が考えられる。「鋭角三角形である」という条件によって解が絞られる点に注意して議論を進める。

解法1

長さ $a, b, \sqrt{3}$ の辺の対角をそれぞれ $A, B, C$ とする。 外接円の半径が $1$ であるから、正弦定理より以下の関係が成り立つ。

$$\frac{\sqrt{3}}{\sin C} = 2 \cdot 1 \implies \sin C = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

三角形は鋭角三角形であるから $0 < C < \frac{\pi}{2}$ であり、$C = \frac{\pi}{3}$ である。 三角形の内角の和は $\pi$ であるから、角 $B$ は以下のように表せる。

$$A + B + C = \pi \implies B = \frac{2}{3}\pi - A$$

再び正弦定理より、

$$a = 2 \sin A$$

である。条件 $1 < a < 2$ より、

$$1 < 2 \sin A < 2 \implies \frac{1}{2} < \sin A < 1$$

$A$ は鋭角（$0 < A < \frac{\pi}{2}$）であるから、$\frac{\pi}{6} < A < \frac{\pi}{2}$ である。このとき $\cos A > 0$ となり、以下のように表せる。

$$\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \frac{\sqrt{4 - a^2}}{2}$$

求める $b$ についても正弦定理から $b = 2 \sin B$ であるため、加法定理を用いて展開する。

$$\begin{aligned} b &= 2 \sin \left( \frac{2}{3}\pi - A \right) \\ &= 2 \left( \sin \frac{2}{3}\pi \cos A - \cos \frac{2}{3}\pi \sin A \right) \\ &= 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \cos A - \left( -\frac{1}{2} \right) \sin A \right) \\ &= \sqrt{3} \cos A + \sin A \end{aligned}$$

これに $\sin A = \frac{a}{2}$ および $\cos A = \frac{\sqrt{4 - a^2}}{2}$ を代入する。

$$\begin{aligned} b &= \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{4 - a^2}}{2} + \frac{a}{2} \\ &= \frac{a + \sqrt{12 - 3a^2}}{2} \end{aligned}$$

なお、$A$ の範囲が $\frac{\pi}{6} < A < \frac{\pi}{2}$ のとき、$B = \frac{2}{3}\pi - A$ の範囲は $\frac{\pi}{6} < B < \frac{\pi}{2}$ となり、$B$ も鋭角となる。$C = \frac{\pi}{3}$ であるため、このとき確かにすべての角が鋭角の三角形となっている。

解法2

長さ $\sqrt{3}$ の辺の対角を $\theta$ とおく。正弦定理より、

$$\frac{\sqrt{3}}{\sin \theta} = 2 \cdot 1 \implies \sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

三角形は鋭角三角形であるから $\theta = \frac{\pi}{3}$ である。 これを用いて余弦定理を立てる。

$$(\sqrt{3})^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \frac{\pi}{3}$$

$$3 = a^2 + b^2 - ab$$

$$b^2 - ab + a^2 - 3 = 0$$

これを $b$ についての2次方程式として解く。$1 < a < 2$ より $a^2 < 4$ であるから、判別式 $D = a^2 - 4(a^2 - 3) = 12 - 3a^2 > 0$ となり実数解をもつ。

$$b = \frac{a \pm \sqrt{12 - 3a^2}}{2}$$

ここで、三角形が鋭角三角形となる条件を考える。 各内角が鋭角であることと、対応する辺の長さの間に成り立つ余弦定理から、以下の3つの不等式が同時に成り立つことが条件となる。

$$\begin{aligned} a^2 + b^2 - (\sqrt{3})^2 &> 0 \implies a^2 + b^2 - 3 > 0 \\ b^2 + (\sqrt{3})^2 - a^2 &> 0 \implies b^2 - a^2 + 3 > 0 \\ a^2 + (\sqrt{3})^2 - b^2 &> 0 \implies a^2 - b^2 + 3 > 0 \end{aligned}$$

関係式 $a^2 + b^2 - ab = 3$ を用いてこれらの条件を言い換える。 1つ目の条件は、

$$a^2 + b^2 - 3 = ab$$

辺の長さより $a>0, b>0$ であるから $ab>0$ となり、常に成り立つ。 2つ目の条件は、$3 - a^2 = b^2 - ab$ を代入して、

$$b^2 - a^2 + 3 = b^2 + (b^2 - ab) = 2b^2 - ab = b(2b - a) > 0$$

$b > 0$ より $2b - a > 0$、すなわち $b > \frac{a}{2}$ である。 3つ目の条件は、$3 - b^2 = a^2 - ab$ を代入して、

$$a^2 - b^2 + 3 = a^2 + (a^2 - ab) = 2a^2 - ab = a(2a - b) > 0$$

$a > 0$ より $2a - b > 0$、すなわち $b < 2a$ である。 以上より、鋭角三角形であるための条件は $\frac{a}{2} < b < 2a$ となる。

これを $b = \frac{a \pm \sqrt{12 - 3a^2}}{2}$ に対して確認する。 複号が負の場合：

$$\frac{a}{2} < \frac{a - \sqrt{12 - 3a^2}}{2} \implies a < a - \sqrt{12 - 3a^2} \implies \sqrt{12 - 3a^2} < 0$$

根号の中身は正であるため、これは成り立たない。よって不適である。 複号が正の場合：

$$\frac{a}{2} < \frac{a + \sqrt{12 - 3a^2}}{2} \implies a < a + \sqrt{12 - 3a^2} \implies 0 < \sqrt{12 - 3a^2}$$

これは常に成り立つ。また上限の条件については、

$$\frac{a + \sqrt{12 - 3a^2}}{2} < 2a \implies a + \sqrt{12 - 3a^2} < 4a \implies \sqrt{12 - 3a^2} < 3a$$

両辺は正であるから2乗して整理すると、

$$12 - 3a^2 < 9a^2 \implies 12 < 12a^2 \implies 1 < a^2$$

条件より $1 < a < 2$ であるため、これも成立する。 したがって、鋭角三角形の条件を満たすのは $b = \frac{a + \sqrt{12 - 3a^2}}{2}$ のみである。

解説

「鋭角三角形である」という図形的な条件を数式上でどのように処理するかが最大のポイントである。

解法1のように角度を変数に置き、加法定理を用いて展開するアプローチを取ると、鋭角であることを $\cos > 0$ という符号でスムーズに処理でき、見通しが良く計算量も少ない。

一方で解法2のように余弦定理から辺の長さに関する方程式を立てた場合は、2つの解候補が得られる。これらが題意に適するかどうかを各辺における余弦定理の不等式（鋭角条件）を用いて吟味しなければならない。この同値変形の手間を考慮すると、解法1の角度によるアプローチの優位性が明確になる問題である。

答え

$b = \frac{a + \sqrt{12 - 3a^2}}{2}$