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数学2 三角関数問題 49 解説

方針・初手

点A, B, C の座標から $\triangle\text{ABC}$ が円に内接する正三角形であることを読み取る。円の半径が $1$ であることから、正弦定理を用いて各線分の長さを $\theta$ で表す。その後は三角関数の加法定理を用いて式を整理する。

解法1

円の式は $x^2 + y^2 = 1$ であり、半径は $R=1$ である。点A $(1, 0)$, 点B $\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$, 点C $\left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ であることから、各点の偏角はそれぞれ $0, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$ であり、$\triangle\text{ABC}$ は円に内接する正三角形である。したがって、$\angle\text{BAC} = \frac{\pi}{3}$ である。

(1) 点Pは点Aを含まない弧BC上にあるため、四角形ABPCは円に内接する。弧AB, 弧AC に対する円周角より、$\angle\text{APB} = \angle\text{ACB} = \frac{\pi}{3}$、$\angle\text{APC} = \angle\text{ABC} = \frac{\pi}{3}$ である。 $\triangle\text{PAB}$ において、正弦定理より、

$$\frac{\text{PB}}{\sin\angle\text{PAB}} = 2R$$

$\angle\text{PAB} = \theta$, $R=1$ より、

$$\text{PB} = 2\sin\theta$$

次に、$\triangle\text{PAC}$ において考える。 $\angle\text{PAC} = \angle\text{BAC} - \angle\text{PAB} = \frac{\pi}{3} - \theta$ である。正弦定理より、

$$\frac{\text{PC}}{\sin\angle\text{PAC}} = 2R$$

よって、

$$\text{PC} = 2\sin\left(\frac{\pi}{3} - \theta\right) = 2\sin\left(-\theta + \frac{\pi}{3}\right)$$

最後に、再び $\triangle\text{PAB}$ に着目する。内角の和より、

$$\angle\text{PBA} = \pi - (\angle\text{PAB} + \angle\text{APB}) = \pi - \left(\theta + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{2\pi}{3} - \theta$$

正弦定理より、

$$\frac{\text{PA}}{\sin\angle\text{PBA}} = 2R$$

よって、

$$\text{PA} = 2\sin\left(\frac{2\pi}{3} - \theta\right) = 2\sin\left(\pi - \left(\theta + \frac{\pi}{3}\right)\right) = 2\sin\left(\theta + \frac{\pi}{3}\right)$$

(2) (1)の結果を用いて $\text{PA} + \text{PB} + \text{PC}$ を計算する。

$$\text{PA} + \text{PB} + \text{PC} = 2\sin\left(\theta + \frac{\pi}{3}\right) + 2\sin\theta + 2\sin\left(-\theta + \frac{\pi}{3}\right)$$

加法定理 $\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$ を用いて展開する。

$$\sin\left(\theta + \frac{\pi}{3}\right) = \sin\theta\cos\frac{\pi}{3} + \cos\theta\sin\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\sin\theta + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta$$

$$\sin\left(-\theta + \frac{\pi}{3}\right) = \sin\frac{\pi}{3}\cos\theta - \cos\frac{\pi}{3}\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta - \frac{1}{2}\sin\theta$$

これらを代入すると、

$$\begin{aligned} \text{PA} + \text{PB} + \text{PC} &= 2\left(\frac{1}{2}\sin\theta + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta\right) + 2\sin\theta + 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta - \frac{1}{2}\sin\theta\right) \\ &= (\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta) + 2\sin\theta + (\sqrt{3}\cos\theta - \sin\theta) \\ &= 2\sin\theta + 2\sqrt{3}\cos\theta \\ &= 4\left(\frac{1}{2}\sin\theta + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta\right) \\ &= 4\sin\left(\theta + \frac{\pi}{3}\right) \end{aligned}$$

点Pが弧BC上を動くとき、$\theta$ の取りうる値の範囲は $0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{3}$ である。このとき、$\theta + \frac{\pi}{3}$ の取りうる値の範囲は $\frac{\pi}{3} \leqq \theta + \frac{\pi}{3} \leqq \frac{2\pi}{3}$ である。 $\sin\left(\theta + \frac{\pi}{3}\right)$ が最大となるのは、$\theta + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$ のとき、すなわち $\theta = \frac{\pi}{6}$ のときである。このとき、最大値は $4\sin\frac{\pi}{2} = 4$ となる。

(3) (2)の途中で求めた展開式を利用する。 $\text{PA} = \sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta$, $\text{PB} = 2\sin\theta$, $\text{PC} = -\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta$ であるから、これらを二乗して足し合わせる。

$$\begin{aligned} \text{PA}^2 + \text{PB}^2 + \text{PC}^2 &= (\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta)^2 + (2\sin\theta)^2 + (-\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta)^2 \\ &= (\sin^2\theta + 2\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta + 3\cos^2\theta) + 4\sin^2\theta + (\sin^2\theta - 2\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta + 3\cos^2\theta) \\ &= 2\sin^2\theta + 6\cos^2\theta + 4\sin^2\theta \\ &= 6\sin^2\theta + 6\cos^2\theta \\ &= 6(\sin^2\theta + \cos^2\theta) \\ &= 6 \end{aligned}$$

解法2

(2)における $\text{PA} + \text{PB} + \text{PC}$ の計算にトレミーの定理（プトレマイオスの定理）を用いる別解を示す。

円に内接する四角形ABPCについて、トレミーの定理より以下が成り立つ。

$$\text{AP} \cdot \text{BC} = \text{AB} \cdot \text{PC} + \text{AC} \cdot \text{PB}$$

$\triangle\text{ABC}$ は正三角形であるから、$\text{AB} = \text{BC} = \text{AC}$ が成り立つ。よって両辺を $\text{BC}$ で割ると、

$$\text{PA} = \text{PB} + \text{PC}$$

が得られる。これを $\text{PA} + \text{PB} + \text{PC}$ に代入すると、

$$\text{PA} + \text{PB} + \text{PC} = \text{PA} + \text{PA} = 2\text{PA}$$

(1)より $\text{PA} = 2\sin\left(\theta + \frac{\pi}{3}\right)$ であるから、

$$2\text{PA} = 4\sin\left(\theta + \frac{\pi}{3}\right)$$

となる。最大値の求め方は解法1と同様である。

解説

単位円に内接する正三角形の頂点と、円周上の動点との距離を考察する典型問題である。正弦定理を用いて各線分の長さを表すことができれば、あとは三角関数の計算問題に帰着される。また、円に内接する四角形に対しては「トレミーの定理」が強力であり、特に正三角形が絡む図形においては本問のように $\text{PA} = \text{PB} + \text{PC}$ という美しい関係が導かれる。これを知っていると(2)の見通しが非常に良くなる。 (3)では、二乗の和をとることで $\sin\theta\cos\theta$ の項が相殺され、$\theta$ に依存しない一定値になるという構造が隠されている。