数学2 三角関数 問題 50 解説

方針・初手

第1象限の角という条件から余弦の符号を確定し、三角関数の相互関係を用いて $\cos\theta$ を求める。その後、三角関数の性質や加法定理を利用して、それぞれの式の値を計算する。

解法1

$\theta$ は第1象限の角であるから、$\cos\theta > 0$ である。

三角関数の相互関係 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ より、

$$\cos\theta = \sqrt{1 - \sin^2\theta} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$

次に、$\sin\left(\theta - \frac{\pi}{2}\right)$ を求める。

三角関数の性質より、

$$\sin\left(\theta - \frac{\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = -\cos\theta$$

であるから、先ほど求めた $\cos\theta$ の値を代入して、

$$\sin\left(\theta - \frac{\pi}{2}\right) = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$$

最後に、$\sin\left(\theta + \frac{\pi}{3}\right)$ を求める。

正弦の加法定理より、

$$\begin{aligned} \sin\left(\theta + \frac{\pi}{3}\right) &= \sin\theta\cos\frac{\pi}{3} + \cos\theta\sin\frac{\pi}{3} \\ &= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} + \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \\ &= \frac{1}{6} + \frac{2\sqrt{6}}{6} \\ &= \frac{1 + 2\sqrt{6}}{6} \end{aligned}$$

解説

象限と三角関数の符号の関係は基本中の基本である。「第1象限の角」から $\cos\theta > 0$ を読み取り、平方根の符号を正しく選択することが最初のポイントである。

$\sin\left(\theta - \frac{\pi}{2}\right)$ の計算では、負角の公式と余角の公式を組み合わせることで素早く変形できる。もし公式を忘れてしまった場合は、加法定理 $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$ に $\alpha = \theta$, $\beta = \frac{\pi}{2}$ を代入することでも導出可能である。

基本公式を正確に運用し、計算ミスなく最後まで解き切りたい典型的な問題である。

答え