数学2 三角関数 問題 51 解説

方針・初手

(1) は正弦の3倍角の公式に値を代入して計算する。

(2) は三角不等式である。角が $x, 2x, 3x$ と混在し、関数も正弦と余弦が混在しているため、まずはこれらを統一する。2倍角の公式と3倍角の公式を用いて、すべての項を $\sin x$ のみに変形してから因数分解を試みる。

解法1

(1)

正弦の3倍角の公式 $\sin 3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$ に $\sin\theta = \frac{1}{5}$ を代入する。

$$\sin 3\theta = 3 \cdot \frac{1}{5} - 4 \left(\frac{1}{5}\right)^3$$

$$\sin 3\theta = \frac{3}{5} - \frac{4}{125}$$

$$\sin 3\theta = \frac{75}{125} - \frac{4}{125} = \frac{71}{125}$$

(2)

与えられた不等式は以下の通りである。

$$-2\sin 3x - \cos 2x + 3\sin x + 1 \leqq 0$$

3倍角の公式 $\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$ と、2倍角の公式 $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ を用いて変形する。

$$-2(3\sin x - 4\sin^3 x) - (1 - 2\sin^2 x) + 3\sin x + 1 \leqq 0$$

展開して整理する。

$$-6\sin x + 8\sin^3 x - 1 + 2\sin^2 x + 3\sin x + 1 \leqq 0$$

$$8\sin^3 x + 2\sin^2 x - 3\sin x \leqq 0$$

共通因数 $\sin x$ でくくり、さらに括弧内を因数分解する。

$$\sin x (8\sin^2 x + 2\sin x - 3) \leqq 0$$

$$\sin x (2\sin x - 1)(4\sin x + 3) \leqq 0$$

ここで、$0 \leqq x \leqq \pi$ においては常に $\sin x \geqq 0$ である。 したがって、$4\sin x + 3 \geqq 3 > 0$ となるため、この因数は常に正である。

ゆえに、不等式が成り立つための条件は以下のようになる。

$$\sin x = 0 \quad \text{または} \quad 2\sin x - 1 \leqq 0$$

これをまとめると、次の不等式を得る。

$$0 \leqq \sin x \leqq \frac{1}{2}$$

$0 \leqq x \leqq \pi$ の範囲でこの不等式を解く。 $\sin x = 0$ となるのは $x = 0, \pi$ のときであり、$\sin x = \frac{1}{2}$ となるのは $x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$ のときであるから、求める $x$ の範囲は以下のようになる。

$$0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{6}, \quad \frac{5\pi}{6} \leqq x \leqq \pi$$

解説

(1) は3倍角の公式 $\sin 3\theta = -4\sin^3\theta + 3\sin\theta$ を正確に覚えているかを問う基本的な問題である。公式を忘れた場合は、加法定理を用いて $\sin(2\theta+\theta)$ から導出するとよい。

(2) は三角方程式・不等式の定石通り、「角の統一」と「関数（サイン・コサイン）の統一」を行う。因数分解した後の不等式の処理において、$\sin x \geqq 0$ であることから $4\sin x + 3$ が常に正であることを見抜ければ、場合分けをせずに簡潔に処理できる。ただし、$\sin x \geqq 0$ だからといって安易に両辺を $\sin x$ で割ってしまうと、$\sin x = 0$ の場合の解を失うため注意が必要である。

答え

(1)

$$\frac{71}{125}$$

(2)

$$0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{6}, \quad \frac{5\pi}{6} \leqq x \leqq \pi$$