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数学2 三角関数問題 52 解説

方針・初手

余角の公式 $\tan(90^\circ - \theta) = \frac{1}{\tan \theta}$ や $\cos(90^\circ - \theta) = \sin \theta$ を積極的に活用し、角度をそろえていくことが基本方針である。前半は余角の公式による相殺を利用し、後半は加法定理や三角関数の相互関係を駆使して文字式として表していく。

解法1

(1)

$\tan(90^\circ - \theta) = \frac{1}{\tan \theta}$ であるから、$\tan 66^\circ = \tan(90^\circ - 24^\circ) = \frac{1}{\tan 24^\circ}$ となる。したがって、以下のようになる。

$$\tan 24^\circ \tan 66^\circ = \tan 24^\circ \cdot \frac{1}{\tan 24^\circ} = 1$$

積 $\tan 1^\circ \tan 2^\circ \dots \tan 89^\circ$ についても同様に考える。 $\theta = 1^\circ, 2^\circ, \dots, 44^\circ$ に対して、$\tan(90^\circ - \theta) = \frac{1}{\tan \theta}$ より $\tan \theta \tan(90^\circ - \theta) = 1$ が成り立つ。これを用いてペアを作ると、次のように計算できる。

$$\begin{aligned} & \tan 1^\circ \tan 2^\circ \dots \tan 44^\circ \tan 45^\circ \tan 46^\circ \dots \tan 88^\circ \tan 89^\circ \\ &= (\tan 1^\circ \tan 89^\circ)(\tan 2^\circ \tan 88^\circ) \dots (\tan 44^\circ \tan 46^\circ) \tan 45^\circ \\ &= 1 \cdot 1 \dots 1 \cdot 1 \\ &= 1 \end{aligned}$$

(2)

$a = \tan 24^\circ$ とする。相互関係 $1 + \tan^2 24^\circ = \frac{1}{\cos^2 24^\circ}$ より、以下が成り立つ。

$$\cos^2 24^\circ = \frac{1}{1 + a^2}$$

$24^\circ$ は鋭角であり $\cos 24^\circ > 0$ であるから、次のように求まる。

$$\cos 24^\circ = \frac{1}{\sqrt{a^2 + 1}}$$

また、$\sin 24^\circ = \tan 24^\circ \cos 24^\circ$ であるから、以下のようになる。

$$\sin 24^\circ = a \cdot \frac{1}{\sqrt{a^2 + 1}} = \frac{a}{\sqrt{a^2 + 1}}$$

次に $\tan 57^\circ - \tan 33^\circ$ を考える。 $57^\circ - 33^\circ = 24^\circ$ であることに着目し、正接の加法定理を用いる。

$$\tan(57^\circ - 33^\circ) = \frac{\tan 57^\circ - \tan 33^\circ}{1 + \tan 57^\circ \tan 33^\circ}$$

ここで、$\tan 57^\circ = \tan(90^\circ - 33^\circ) = \frac{1}{\tan 33^\circ}$ であるから、$\tan 57^\circ \tan 33^\circ = 1$ である。したがって、加法定理の式は以下のようになる。

$$\tan 24^\circ = \frac{\tan 57^\circ - \tan 33^\circ}{1 + 1}$$

$a = \frac{\tan 57^\circ - \tan 33^\circ}{2}$ より、次のように求まる。

$$\tan 57^\circ - \tan 33^\circ = 2a$$

ここで、$x = \tan 57^\circ$、$y = \tan 33^\circ$ とおくと、$x - y = 2a$ かつ $xy = 1$ である。 $x = y + 2a$ を $xy = 1$ に代入すると、以下の2次方程式が得られる。

$$y(y + 2a) = 1$$

$$y^2 + 2ay - 1 = 0$$

これを解くと $y = -a \pm \sqrt{a^2 + 1}$ となる。 $y = \tan 33^\circ > 0$ であるから、$y = \sqrt{a^2 + 1} - a$ である。

$$\tan 33^\circ = \sqrt{a^2 + 1} - a$$

また、$x = y + 2a$ より、以下のようになる。

$$\tan 57^\circ = (\sqrt{a^2 + 1} - a) + 2a = \sqrt{a^2 + 1} + a$$

次に $\cos 57^\circ \cos 33^\circ$ を求める。積和の公式より、次のように計算できる。

$$\begin{aligned} \cos 57^\circ \cos 33^\circ &= \frac{1}{2} \{ \cos(57^\circ + 33^\circ) + \cos(57^\circ - 33^\circ) \} \\ &= \frac{1}{2} (\cos 90^\circ + \cos 24^\circ) \\ &= \frac{1}{2} \left( 0 + \frac{1}{\sqrt{a^2 + 1}} \right) \\ &= \frac{1}{2\sqrt{a^2 + 1}} \end{aligned}$$

これを用いて $(\cos 57^\circ + \cos 33^\circ)^2$ を展開する。

$$(\cos 57^\circ + \cos 33^\circ)^2 = \cos^2 57^\circ + 2\cos 57^\circ \cos 33^\circ + \cos^2 33^\circ$$

ここで、$\cos 33^\circ = \cos(90^\circ - 57^\circ) = \sin 57^\circ$ であるから、$\cos^2 57^\circ + \cos^2 33^\circ = \cos^2 57^\circ + \sin^2 57^\circ = 1$ となる。よって、以下のようになる。

$$\begin{aligned} (\cos 57^\circ + \cos 33^\circ)^2 &= 1 + 2\cos 57^\circ \cos 33^\circ \\ &= 1 + 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{a^2 + 1}} \\ &= 1 + \frac{1}{\sqrt{a^2 + 1}} \end{aligned}$$

最後に $\tan 24^\circ + \tan 33^\circ + \tan 123^\circ$ を計算する。 $\tan 123^\circ = \tan(90^\circ + 33^\circ) = -\frac{1}{\tan 33^\circ} = -\tan 57^\circ$ である。したがって、与式は次のように変形できる。

$$\begin{aligned} \tan 24^\circ + \tan 33^\circ + \tan 123^\circ &= \tan 24^\circ + \tan 33^\circ - \tan 57^\circ \\ &= a - (\tan 57^\circ - \tan 33^\circ) \\ &= a - 2a \\ &= -a \end{aligned}$$

解説

余角の公式 $\tan(90^\circ - \theta) = \frac{1}{\tan \theta}$ の利用が鍵となる問題である。 (1) のように角度の和が $90^\circ$ になるペアを見つけて積を $1$ にする処理は頻出である。 (2) における $\tan 57^\circ - \tan 33^\circ$ の計算では、角度の差が $24^\circ$ になることに気づき、$\tan(\alpha - \beta)$ の加法定理を逆算的に用いる発想が求められる。その後は和と積、あるいは差と積の関係から2次方程式を作成して解く流れとなる。 $\tan(90^\circ + \theta) = -\frac{1}{\tan \theta}$ などの公式も正確に使いこなせるようにしておきたい。