数学2 三角関数 問題 53 解説

方針・初手

与えられた2つの式は $\sin x$ と $\sin y$ の基本対称式を用いて表すことができる。そこで、$u = \sin x + \sin y$、$v = \sin x \sin y$ とおき、まずは $u, v$ の値を求めることから始める。その後、加法定理を用いて $x+y$ の三角比の値を計算し、角度を特定する。

解法1

$u = \sin x + \sin y$、$v = \sin x \sin y$ とおく。

与えられた第2の条件式 $\frac{\sin y}{\sin x} + \frac{\sin x}{\sin y} = 3$ の両辺に $\sin x \sin y$ を掛けると、

$$\sin^2 y + \sin^2 x = 3 \sin x \sin y$$

となる。左辺を基本対称式で表すと、

$$(\sin x + \sin y)^2 - 2 \sin x \sin y = 3 \sin x \sin y$$

であるから、

$$u^2 - 2v = 3v$$

となり、整理すると以下の関係式を得る。

$$u^2 = 5v \quad \cdots \text{①}$$

次に、第1の条件式 $\sin^3 x + \sin^3 y = \frac{3\sqrt{15}}{32}$ の左辺を因数分解して基本対称式で表す。

$$(\sin x + \sin y)(\sin^2 x - \sin x \sin y + \sin^2 y) = \frac{3\sqrt{15}}{32}$$

$$u (u^2 - 3v) = \frac{3\sqrt{15}}{32}$$

これに①を代入すると、

$$u (5v - 3v) = \frac{3\sqrt{15}}{32}$$

$$2uv = \frac{3\sqrt{15}}{32} \quad \cdots \text{②}$$

①より $v = \frac{u^2}{5}$ である。これを②に代入して $v$ を消去する。

$$2u \cdot \frac{u^2}{5} = \frac{3\sqrt{15}}{32}$$

$$u^3 = \frac{15\sqrt{15}}{64}$$

$u$ は実数であるから、

$$u = \frac{\sqrt{15}}{4}$$

となる。このとき、$v$ の値は、

$$v = \frac{1}{5} \cdot \left( \frac{\sqrt{15}}{4} \right)^2 = \frac{1}{5} \cdot \frac{15}{16} = \frac{3}{16}$$

である。

ここで、$x, y$ の範囲について考える。 $\sin x$ と $\sin y$ は、和が $u = \frac{\sqrt{15}}{4} > 0$、積が $v = \frac{3}{16} > 0$ である。 実数 $\sin x, \sin y$ を解にもつ $t$ の2次方程式は $t^2 - ut + v = 0$ すなわち、

$$16t^2 - 4\sqrt{15}t + 3 = 0$$

である。判別式を $D$ とすると、$D/4 = (2\sqrt{15})^2 - 16 \cdot 3 = 60 - 48 = 12 > 0$ より、この方程式は相異なる2つの実数解をもつため、条件を満たす実数 $x, y$ は確かに存在する。 また、解と係数の関係より、和も積も正であることから、2つの解 $\sin x, \sin y$ はともに正である。 問題の条件より $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$、$-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$ であるから、$\sin x > 0$ かつ $\sin y > 0$ と合わせて、

$$0 < x < \frac{\pi}{2}, \quad 0 < y < \frac{\pi}{2}$$

であることが分かる。したがって、$0 < x+y < \pi$ である。 また、この範囲において $\cos x > 0, \cos y > 0$ である。

次に、$\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$ の値を求めるために、$\cos x \cos y$ を計算する。

$$\cos x \cos y = \sqrt{1 - \sin^2 x} \sqrt{1 - \sin^2 y}$$

$$= \sqrt{1 - (\sin^2 x + \sin^2 y) + \sin^2 x \sin^2 y}$$

ここで、$\sin^2 x + \sin^2 y = u^2 - 2v = 5v - 2v = 3v = \frac{9}{16}$ であり、$\sin^2 x \sin^2 y = v^2 = \frac{9}{256}$ であるから、

$$\cos x \cos y = \sqrt{1 - \frac{9}{16} + \frac{9}{256}} = \sqrt{\frac{256 - 144 + 9}{256}} = \sqrt{\frac{121}{256}} = \frac{11}{16}$$

となる。よって、加法定理より、

$$\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y = \frac{11}{16} - \frac{3}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$$

$0 < x+y < \pi$ であるから、求める値は、

$$x+y = \frac{\pi}{3}$$

となる。

解法2

解法1と同様にして、$u = \sin x + \sin y = \frac{\sqrt{15}}{4}$、$v = \sin x \sin y = \frac{3}{16}$ を得るところまでは同じである。

$\sin x$ と $\sin y$ は $t$ の2次方程式 $16t^2 - 4\sqrt{15}t + 3 = 0$ の2つの解である。 解の公式を用いて $t$ を求めると、

$$t = \frac{2\sqrt{15} \pm \sqrt{60 - 48}}{16} = \frac{2\sqrt{15} \pm 2\sqrt{3}}{16} = \frac{\sqrt{15} \pm \sqrt{3}}{8}$$

となる。対称性より、$\sin x = \frac{\sqrt{15} + \sqrt{3}}{8}$、$\sin y = \frac{\sqrt{15} - \sqrt{3}}{8}$ としても $x+y$ の値は変わらない。 また、解法1と同様に $0 < x < \frac{\pi}{2}, 0 < y < \frac{\pi}{2}$ であるから、$\cos x > 0, \cos y > 0$ である。

$\cos x$ を求める。

$$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - \left( \frac{\sqrt{15} + \sqrt{3}}{8} \right)^2 = 1 - \frac{18 + 2\sqrt{45}}{64} = \frac{46 - 2\sqrt{45}}{64}$$

ここで、分子の二重根号を外すと、

$$46 - 2\sqrt{45} = (\sqrt{45} - 1)^2 = (3\sqrt{5} - 1)^2$$

となるため、$\cos x > 0$ より、

$$\cos x = \frac{3\sqrt{5} - 1}{8}$$

となる。同様に $\cos y$ を求める。

$$\cos^2 y = 1 - \sin^2 y = 1 - \left( \frac{\sqrt{15} - \sqrt{3}}{8} \right)^2 = 1 - \frac{18 - 2\sqrt{45}}{64} = \frac{46 + 2\sqrt{45}}{64}$$

$$46 + 2\sqrt{45} = (\sqrt{45} + 1)^2 = (3\sqrt{5} + 1)^2$$

であるから、$\cos y > 0$ より、

$$\cos y = \frac{3\sqrt{5} + 1}{8}$$

となる。

したがって、加法定理により $\cos(x+y)$ を計算すると、

$$\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$$

$$= \frac{(3\sqrt{5} - 1)(3\sqrt{5} + 1)}{64} - \frac{3}{16}$$

$$= \frac{45 - 1}{64} - \frac{12}{64} = \frac{32}{64} = \frac{1}{2}$$

また、$\sin(x+y)$ も計算すると、

$$\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$$

$$= \frac{\sqrt{15} + \sqrt{3}}{8} \cdot \frac{3\sqrt{5} + 1}{8} + \frac{3\sqrt{5} - 1}{8} \cdot \frac{\sqrt{15} - \sqrt{3}}{8}$$

$$= \frac{(15\sqrt{3} + \sqrt{15} + 3\sqrt{15} + \sqrt{3}) + (15\sqrt{3} - 3\sqrt{15} - \sqrt{15} + \sqrt{3})}{64}$$

$$= \frac{32\sqrt{3}}{64} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

$\sin(x+y) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ かつ $\cos(x+y) = \frac{1}{2}$ であり、$-\pi < x+y < \pi$ であるから、

$$x+y = \frac{\pi}{3}$$

となる。

解説

2変数の対称式を用いて $\sin x$ と $\sin y$ の和と積を求める基本手順から出発する問題である。和と積が求まった後、$x, y$ の取り得る値の範囲をしっかりと吟味し、$x+y$ の範囲を特定することが論理の飛躍を防ぐために重要である。 解法1のように $\cos x \cos y$ を対称式としてまとめて計算する手法が計算量も少なく推奨されるが、解法2のように二重根号を外して直接三角比の値を求めることも可能であり、確かな計算力が問われる。

答え

$\frac{\pi}{3}$