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数学2 三角関数問題 54 解説

方針・初手

(1) は三角関数の合成を用いて一つの三角関数にまとめるか、単位円上の座標関係から視覚的に解く。 (2) は両辺が $0$ 以上であることに着目し、両辺を $2$ 乗して絶対値を外す。その後、半角の公式（倍角の公式）を用いて次数を下げると見通しがよい。 (3) は $A \leqq B \iff B \geqq 0 \text{ かつ } A^2 \leqq B^2$ の同値変形を用いることで、(2) の結果を有効に活用できる。

解法1

(1)

与えられた不等式を変形する。

$$\sin x - \cos x \leqq 0$$

左辺を合成すると、

$$\sqrt{2} \sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right) \leqq 0$$

$$\sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right) \leqq 0$$

$0 \leqq x < 2\pi$ であるから、

$$-\frac{\pi}{4} \leqq x - \frac{\pi}{4} < \frac{7}{4}\pi$$

この範囲において、サインが $0$ 以下となるのは、

$$-\frac{\pi}{4} \leqq x - \frac{\pi}{4} \leqq 0, \quad \pi \leqq x - \frac{\pi}{4} < \frac{7}{4}\pi$$

各辺に $\frac{\pi}{4}$ を加えて、

$$0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4}, \quad \frac{5}{4}\pi \leqq x < 2\pi$$

(2)

与えられた不等式 $|\sin x| \leqq |\cos x|$ は両辺ともに $0$ 以上であるから、両辺を $2$ 乗しても同値である。

$$\sin^2 x \leqq \cos^2 x$$

半角の公式を用いて次数を下げる。

$$\frac{1 - \cos 2x}{2} \leqq \frac{1 + \cos 2x}{2}$$

両辺を整理して、

$$1 - \cos 2x \leqq 1 + \cos 2x$$

$$2\cos 2x \geqq 0$$

$$\cos 2x \geqq 0$$

$0 \leqq x < 2\pi$ より $0 \leqq 2x < 4\pi$ であるから、この範囲で不等式を解くと、

$$0 \leqq 2x \leqq \frac{\pi}{2}, \quad \frac{3}{2}\pi \leqq 2x \leqq \frac{5}{2}\pi, \quad \frac{7}{2}\pi \leqq 2x < 4\pi$$

各辺を $2$ で割って、

$$0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4}, \quad \frac{3}{4}\pi \leqq x \leqq \frac{5}{4}\pi, \quad \frac{7}{4}\pi \leqq x < 2\pi$$

(3)

不等式 $|\sin x| \leqq \cos x$ が成り立つためには、左辺が $0$ 以上であるから、右辺も $0$ 以上でなければならない。すなわち、

$$\cos x \geqq 0$$

これと、両辺を $2$ 乗した $\sin^2 x \leqq \cos^2 x$ は、元の不等式と同値である。 $\cos x \geqq 0$ を $0 \leqq x < 2\pi$ の範囲で解くと、

$$0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}, \quad \frac{3}{2}\pi \leqq x < 2\pi$$

一方、$\sin^2 x \leqq \cos^2 x \iff |\sin x| \leqq |\cos x|$ の解は (2) より、

$$0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4}, \quad \frac{3}{4}\pi \leqq x \leqq \frac{5}{4}\pi, \quad \frac{7}{4}\pi \leqq x < 2\pi$$

これら2つの条件の共通範囲をとって、

$$0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4}, \quad \frac{7}{4}\pi \leqq x < 2\pi$$

解法2

(1) および (2) の別解

単位円上の点 $\mathrm{P}(\cos x, \sin x)$ を考える。不等式はそれぞれ、点 $\mathrm{P}$ の $X$ 座標（$\cos x$）と $Y$ 座標（$\sin x$）の大小関係を表す。

(1)

$\sin x \leqq \cos x$ は、単位円上の点 $(X, Y) = (\cos x, \sin x)$ に対して $Y \leqq X$ を満たす範囲を求めることと同じである。直線 $Y = X$ と単位円の交点の偏角は $\frac{\pi}{4}$ と $\frac{5}{4}\pi$ である。 $Y \leqq X$ すなわち直線 $Y = X$ の下側（境界含む）にある弧の範囲を $0 \leqq x < 2\pi$ で読み取ると、

$$0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4}, \quad \frac{5}{4}\pi \leqq x < 2\pi$$

(2)

$|\sin x| \leqq |\cos x|$ は、単位円上の点 $(X, Y) = (\cos x, \sin x)$ に対して $|Y| \leqq |X|$ を満たす範囲を求めることと同じである。これは直線 $Y = X$ と $Y = -X$ で区切られた4つの領域のうち、直線 $X = 0$（$Y$ 軸）を含む側の領域（境界含む）である。交点の偏角は $\frac{\pi}{4}, \frac{3}{4}\pi, \frac{5}{4}\pi, \frac{7}{4}\pi$ であるから、該当する弧の範囲を読み取って、

$$0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4}, \quad \frac{3}{4}\pi \leqq x \leqq \frac{5}{4}\pi, \quad \frac{7}{4}\pi \leqq x < 2\pi$$

解説

三角関数の不等式を解く基本的な問題である。 (1) は合成公式を用いるのが最も標準的だが、単位円の $X$ 座標と $Y$ 座標の意味（$\cos \theta$, $\sin \theta$）を理解していれば、グラフから直接的に解を導くことも可能である。(2) は絶対値がついているため場合分けをしても解けるが、「両辺が非負ならば $2$ 乗しても同値」という性質を用いて $|\sin x| \leqq |\cos x| \iff \sin^2 x \leqq \cos^2 x$ と変形すると手際がよい。また、$\cos x \neq 0$ を確認したうえで両辺を $\cos^2 x$ で割り、$\tan^2 x \leqq 1$ として解く方針も有効である。 (3) は $|A| \leqq B \iff -B \leqq A \leqq B$ と変形して解くこともできるが、(2) の誘導に乗るのが定石である。(3) の条件を $B \geqq 0$ かつ $A^2 \leqq B^2$ と同値変形することで、(2) の結果をそのまま利用できる。同値変形における $B \geqq 0$（つまり $\cos x \geqq 0$）の条件を忘れないことが最大のポイントとなる。