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数学2 三角関数問題 55 解説

方針・初手

(1) 前半の方程式は両辺を2乗するか、グラフの交点を考えて解く。後半の大小比較は、関数 $y=\cos t$ が偶関数であることと、単調減少区間であることを利用し、内側の関数の大小関係に帰着させる。

(2) 前半の不等式は余角の公式 $\cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\theta$ を用いて三角関数の種類を揃え、単調性を利用する。後半は前半の不等式を利用するために、$\alpha=|\cos x|, \beta=\sin x$ とおき、この $\alpha, \beta$ が前半の条件 $\alpha+\beta<\frac{\pi}{2}$ を満たすことを三角関数の合成を用いて示す。

解法1

(1) $0 \leqq x \leqq \pi$ において、$|\cos x| = \sin x$ を満たす $x$ を求める。 $0 \leqq x \leqq \pi$ では $\sin x \geqq 0$ であるため、両辺を2乗して同値性は崩れない。

$$\cos^2 x = \sin^2 x$$

$$1 - \sin^2 x = \sin^2 x$$

$$2\sin^2 x = 1$$

$$\sin x = \frac{1}{\sqrt{2}} \quad (\sin x \geqq 0 \text{ より})$$

$0 \leqq x \leqq \pi$ であるから、$x = \frac{\pi}{4}, \frac{3}{4}\pi$ となる。

次に、$\cos(\cos x)$ と $\cos(\sin x)$ の大小を比較する。 $\cos t$ は偶関数であるから、$\cos(\cos x) = \cos(|\cos x|)$ が成り立つ。 $0 \leqq x \leqq \pi$ において、$0 \leqq |\cos x| \leqq 1$ および $0 \leqq \sin x \leqq 1$ である。ここで、関数 $f(t) = \cos t$ は、区間 $0 \leqq t \leqq 1$ （これは $0 \leqq t < \frac{\pi}{2}$ に含まれる）において単調に減少する。したがって、$\cos(|\cos x|)$ と $\cos(\sin x)$ の大小関係は、内側の値である $|\cos x|$ と $\sin x$ の大小関係とは逆になる。

$y = |\cos x|$ と $y = \sin x$ のグラフの上下関係を考えると、交点は求めた通り $x = \frac{\pi}{4}, \frac{3}{4}\pi$ であり、区間ごとの大小は次のようになる。

(i) $0 \leqq x < \frac{\pi}{4}$ のとき $\cos x > \sin x \geqq 0$ であるため、$|\cos x| > \sin x$

(ii) $x = \frac{\pi}{4}, \frac{3}{4}\pi$ のとき $|\cos x| = \sin x$

(iii) $\frac{\pi}{4} < x < \frac{3}{4}\pi$ のときグラフより、$|\cos x| < \sin x$

(iv) $\frac{3}{4}\pi < x \leqq \pi$ のとき $-\cos x > \sin x \geqq 0$ であるため、$|\cos x| > \sin x$

これらに $f(t) = \cos t$ を適用すると大小関係が逆転するため、以下の結論を得る。 $0 \leqq x < \frac{\pi}{4}, \frac{3}{4}\pi < x \leqq \pi$ のとき、$\cos(\cos x) < \cos(\sin x)$ $x = \frac{\pi}{4}, \frac{3}{4}\pi$ のとき、$\cos(\cos x) = \cos(\sin x)$ $\frac{\pi}{4} < x < \frac{3}{4}\pi$ のとき、$\cos(\cos x) > \cos(\sin x)$

(2) 前半の証明を行う。 $\alpha \geqq 0, \beta \geqq 0, \alpha + \beta < \frac{\pi}{2}$ より、$0 \leqq \alpha < \frac{\pi}{2} - \beta \leqq \frac{\pi}{2}$ である。 $0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$ の範囲において、関数 $\cos t$ は単調減少であるから、次の不等式が成り立つ。

$$\cos \alpha > \cos\left(\frac{\pi}{2} - \beta\right)$$

ここで、余角の公式により $\cos\left(\frac{\pi}{2} - \beta\right) = \sin \beta$ であるから、$\cos \alpha > \sin \beta$ が成り立つ。

後半の証明を行う。 $0 \leqq x \leqq \pi$ において、$\alpha = |\cos x|, \beta = \sin x$ とおく。このとき、$\alpha \geqq 0, \beta \geqq 0$ を満たす。 $\alpha + \beta = |\cos x| + \sin x$ の最大値を調べる。

(i) $0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ のとき $\cos x \geqq 0$ より、$\alpha + \beta = \cos x + \sin x = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ である。 $0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ のとき $\frac{\pi}{4} \leqq x + \frac{\pi}{4} \leqq \frac{3}{4}\pi$ であるから、$x = \frac{\pi}{4}$ のとき最大値 $\sqrt{2}$ をとる。

(ii) $\frac{\pi}{2} < x \leqq \pi$ のとき $\cos x < 0$ より、$\alpha + \beta = -\cos x + \sin x = \sqrt{2}\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ である。 $\frac{\pi}{2} < x \leqq \pi$ のとき $\frac{\pi}{4} < x - \frac{\pi}{4} \leqq \frac{3}{4}\pi$ であるから、$x = \frac{3}{4}\pi$ のとき最大値 $\sqrt{2}$ をとる。

したがって、$0 \leqq x \leqq \pi$ のすべての範囲において $\alpha + \beta \leqq \sqrt{2}$ が成り立つ。ここで、$\sqrt{2}^2 = 2 < 2.25 = 1.5^2$ より $\sqrt{2} < 1.5$ であり、また $\frac{\pi}{2} > \frac{3}{2} = 1.5$ であるから、$\sqrt{2} < \frac{\pi}{2}$ が成り立つ。ゆえに、$\alpha + \beta \leqq \sqrt{2} < \frac{\pi}{2}$ となり、常に $\alpha + \beta < \frac{\pi}{2}$ の条件を満たす。前半で証明した事実により、$\cos \alpha > \sin \beta$ すなわち $\cos(|\cos x|) > \sin(\sin x)$ が成り立つ。 $\cos$ は偶関数であるから $\cos(\cos x) = \cos(|\cos x|)$ であり、以上より $0 \leqq x \leqq \pi$ において $\cos(\cos x) > \sin(\sin x)$ が示された。

解説

入れ子構造になった三角関数の大小比較や方程式・不等式は、内側の関数の値域を求めた上で、外側の関数の単調性などの性質を利用して解くのが定石である。本問では、内側の関数値が $0$ 以上 $1$ 以下となり、外側の関数 $y=\cos t$ がその区間内で単調減少関数であることに気づくことがポイントである。(2)の最後で $\sqrt{2} < \frac{\pi}{2}$ という定数の大小関係を評価するステップを忘れないよう注意したい。