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数学2 三角関数問題 56 解説

方針・初手

三角関数の和の不等式であるから、和を積に直す公式（和積の公式）を用いて、$A \cdot B \geqq 0$ の形に持ち込むのが定石である。両辺でそれぞれ和積の公式を用いた後、式を整理し、因数の符号によって場合分けを行うことで、$xy$ 平面上の領域を特定する。

解法1

与えられた不等式 $\sin x + \sin y \geqq \cos x + \cos y$ の両辺に和積の公式を用いると、

$$2 \sin\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2} \geqq 2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}$$

となる。これを整理して因数分解すると、

$$2 \cos\frac{x-y}{2} \left( \sin\frac{x+y}{2} - \cos\frac{x+y}{2} \right) \geqq 0$$

さらに、カッコ内の式を三角関数の合成を用いて変形すると、

$$2\sqrt{2} \cos\frac{x-y}{2} \sin\left( \frac{x+y}{2} - \frac{\pi}{4} \right) \geqq 0$$

すなわち、

$$\cos\frac{x-y}{2} \sin\left( \frac{x+y}{2} - \frac{\pi}{4} \right) \geqq 0$$

を得る。

ここで、$0 \leqq x \leqq 2\pi, 0 \leqq y \leqq 2\pi$ であるから、各角のとりうる範囲は、

$$-\pi \leqq \frac{x-y}{2} \leqq \pi$$

$$-\frac{\pi}{4} \leqq \frac{x+y}{2} - \frac{\pi}{4} \leqq \frac{7}{4}\pi$$

である。不等式を満たすのは、次の (i) または (ii) の場合である。

(i) $\cos\frac{x-y}{2} \geqq 0$ かつ $\sin\left( \frac{x+y}{2} - \frac{\pi}{4} \right) \geqq 0$ のとき

$-\pi \leqq \frac{x-y}{2} \leqq \pi$ において $\cos\frac{x-y}{2} \geqq 0$ となる範囲は、

$$-\frac{\pi}{2} \leqq \frac{x-y}{2} \leqq \frac{\pi}{2}$$

これを解いて $-\pi \leqq x-y \leqq \pi$ となるから、

$$x-\pi \leqq y \leqq x+\pi$$

また、$-\frac{\pi}{4} \leqq \frac{x+y}{2} - \frac{\pi}{4} \leqq \frac{7}{4}\pi$ において $\sin\left( \frac{x+y}{2} - \frac{\pi}{4} \right) \geqq 0$ となる範囲は、

$$0 \leqq \frac{x+y}{2} - \frac{\pi}{4} \leqq \pi$$

これを解いて $\frac{\pi}{4} \leqq \frac{x+y}{2} \leqq \frac{5}{4}\pi$ より $\frac{\pi}{2} \leqq x+y \leqq \frac{5}{2}\pi$ となるから、

$$-x+\frac{\pi}{2} \leqq y \leqq -x+\frac{5}{2}\pi$$

(ii) $\cos\frac{x-y}{2} \leqq 0$ かつ $\sin\left( \frac{x+y}{2} - \frac{\pi}{4} \right) \leqq 0$ のとき

$-\pi \leqq \frac{x-y}{2} \leqq \pi$ において $\cos\frac{x-y}{2} \leqq 0$ となる範囲は、

$$-\pi \leqq \frac{x-y}{2} \leqq -\frac{\pi}{2} \quad \text{または} \quad \frac{\pi}{2} \leqq \frac{x-y}{2} \leqq \pi$$

これを解いて $-2\pi \leqq x-y \leqq -\pi$ または $\pi \leqq x-y \leqq 2\pi$ となるから、

$$y \geqq x+\pi \quad \text{または} \quad y \leqq x-\pi$$

また、$-\frac{\pi}{4} \leqq \frac{x+y}{2} - \frac{\pi}{4} \leqq \frac{7}{4}\pi$ において $\sin\left( \frac{x+y}{2} - \frac{\pi}{4} \right) \leqq 0$ となる範囲は、

$$-\frac{\pi}{4} \leqq \frac{x+y}{2} - \frac{\pi}{4} \leqq 0 \quad \text{または} \quad \pi \leqq \frac{x+y}{2} - \frac{\pi}{4} \leqq \frac{7}{4}\pi$$

これを解いて $0 \leqq x+y \leqq \frac{\pi}{2}$ または $\frac{5}{2}\pi \leqq x+y \leqq 4\pi$ となるから、

$$y \leqq -x+\frac{\pi}{2} \quad \text{または} \quad y \geqq -x+\frac{5}{2}\pi$$

以上の (i), (ii) を合わせた領域を $0 \leqq x \leqq 2\pi, 0 \leqq y \leqq 2\pi$ の範囲内で考える。

(i) の条件を満たす部分は、4つの直線 $y=x+\pi$, $y=x-\pi$, $y=-x+\frac{\pi}{2}$, $y=-x+\frac{5}{2}\pi$ および $x, y$ 軸で囲まれた六角形の領域となる。この頂点は $(0, \frac{\pi}{2}), (\frac{\pi}{2}, 0), (\pi, 0), (\frac{7}{4}\pi, \frac{3}{4}\pi), (\frac{3}{4}\pi, \frac{7}{4}\pi), (0, \pi)$ である。

(ii) の条件について、$y \geqq x+\pi$ かつ $y \leqq -x+\frac{\pi}{2}$ を同時に満たす領域、および $y \leqq x-\pi$ かつ $y \leqq -x+\frac{\pi}{2}$ を同時に満たす領域は、$x \geqq 0, y \geqq 0$ の範囲には存在しない。したがって、(ii) で図示されるのは、$y \geqq x+\pi$ かつ $y \geqq -x+\frac{5}{2}\pi$ を満たす三角形の領域と、$y \leqq x-\pi$ かつ $y \geqq -x+\frac{5}{2}\pi$ を満たす三角形の領域のみである。前者の頂点は $(\frac{3}{4}\pi, \frac{7}{4}\pi), (\frac{\pi}{2}, 2\pi), (\pi, 2\pi)$ であり、後者の頂点は $(\frac{7}{4}\pi, \frac{3}{4}\pi), (2\pi, \frac{\pi}{2}), (2\pi, \pi)$ である。

解説

和積の公式を用いて式の形を整え、積の符号による場合分けを行うのがこの問題の最も重要なポイントである。変数のとりうる範囲を確認しながら、境界線となる直線群を正確に特定し、それぞれの交点を求めることで正確な図示が可能となる。式変形さえできれば、あとは直線の上下関係を整理するだけの平易な領域図示に帰着する。