数学2 三角関数 問題 57 解説

方針・初手

与えられた $\tan \theta$ の値から、タンジェントの2倍角の公式を用いて直接 $\tan 2\theta$ の値を計算する。

解法1

タンジェントの2倍角の公式は以下の通りである。

$$\tan 2\theta = \frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$$

与えられた条件 $\tan \theta = 3$ をこの公式に代入する。

$$\tan 2\theta = \frac{2 \cdot 3}{1 - 3^2}$$

$$\tan 2\theta = \frac{6}{1 - 9}$$

$$\tan 2\theta = \frac{6}{-8}$$

$$\tan 2\theta = -\frac{3}{4}$$

解説

タンジェントの2倍角の公式に値を代入するだけの基本的な計算問題である。

もし2倍角の公式を忘れてしまった場合は、タンジェントの加法定理から導出することができる。

$$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$$

において、$\alpha = \theta, \beta = \theta$ とすれば、

$$\tan(\theta + \theta) = \frac{\tan \theta + \tan \theta}{1 - \tan \theta \tan \theta}$$

$$\tan 2\theta = \frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$$

となり、公式を容易に復元できる。公式は丸暗記するだけでなく、加法定理からの導出過程も理解しておくことが重要である。

答え

$-\frac{3}{4}$