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数学2 三角関数問題 58 解説

方針・初手

与えられた式に含まれる $\sin \left( \theta + \frac{\pi}{3} \right)$ を加法定理を用いて展開し、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の式に直す方針が最も自然である。展開後に式を整理し、$\theta$ を含む項がすべて消去され、定数のみが残ることを示せばよい。

また、2次の三角関数の和・差であることに着目し、半角の公式（次数下げ）と積和の公式を利用して1次の式に直す方針（解法2）も考えられる。

解法1

与式に加法定理 $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$ を適用して展開する。

$$\begin{aligned} &\sin^2 \theta + \sin^2 \left( \theta + \frac{\pi}{3} \right) - \sin \theta \sin \left( \theta + \frac{\pi}{3} \right) \\ &= \sin^2 \theta + \left( \sin \theta \cos \frac{\pi}{3} + \cos \theta \sin \frac{\pi}{3} \right)^2 - \sin \theta \left( \sin \theta \cos \frac{\pi}{3} + \cos \theta \sin \frac{\pi}{3} \right) \\ &= \sin^2 \theta + \left( \frac{1}{2} \sin \theta + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta \right)^2 - \sin \theta \left( \frac{1}{2} \sin \theta + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta \right) \end{aligned}$$

この式を展開して整理する。

$$\begin{aligned} &= \sin^2 \theta + \left( \frac{1}{4} \sin^2 \theta + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta \cos \theta + \frac{3}{4} \cos^2 \theta \right) - \left( \frac{1}{2} \sin^2 \theta + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta \cos \theta \right) \\ &= \left( 1 + \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \right) \sin^2 \theta + \left( \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \sin \theta \cos \theta + \frac{3}{4} \cos^2 \theta \\ &= \frac{3}{4} \sin^2 \theta + \frac{3}{4} \cos^2 \theta \end{aligned}$$

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を用いる。

$$\begin{aligned} &= \frac{3}{4} ( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta ) \\ &= \frac{3}{4} \end{aligned}$$

したがって、与式の値は $\theta$ に無関係な定数 $\frac{3}{4}$ となる。

解法2

半角の公式 $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$ および、積和の公式 $- \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \{ \cos(\alpha + \beta) - \cos(\alpha - \beta) \}$ を用いて、与式の次数を下げる。

$$\begin{aligned} &\sin^2 \theta + \sin^2 \left( \theta + \frac{\pi}{3} \right) - \sin \theta \sin \left( \theta + \frac{\pi}{3} \right) \\ &= \frac{1 - \cos 2\theta}{2} + \frac{1 - \cos \left( 2\theta + \frac{2\pi}{3} \right)}{2} + \frac{1}{2} \left\{ \cos \left( \theta + \theta + \frac{\pi}{3} \right) - \cos \left( \theta - \left( \theta + \frac{\pi}{3} \right) \right) \right\} \\ &= \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 2\theta + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos \left( 2\theta + \frac{2\pi}{3} \right) + \frac{1}{2} \cos \left( 2\theta + \frac{\pi}{3} \right) - \frac{1}{2} \cos \left( - \frac{\pi}{3} \right) \end{aligned}$$

$\cos \left( - \frac{\pi}{3} \right) = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ であるから、定数項をまとめる。

$$\begin{aligned} &= \left( 1 - \frac{1}{4} \right) - \frac{1}{2} \left\{ \cos 2\theta + \cos \left( 2\theta + \frac{2\pi}{3} \right) - \cos \left( 2\theta + \frac{\pi}{3} \right) \right\} \\ &= \frac{3}{4} - \frac{1}{2} \left\{ \cos 2\theta + \left( \cos 2\theta \cos \frac{2\pi}{3} - \sin 2\theta \sin \frac{2\pi}{3} \right) - \left( \cos 2\theta \cos \frac{\pi}{3} - \sin 2\theta \sin \frac{\pi}{3} \right) \right\} \end{aligned}$$

カッコの中の式に $\cos \frac{2\pi}{3} = - \frac{1}{2}$、$\sin \frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$、$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$、$\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を代入して整理する。

$$\begin{aligned} &= \frac{3}{4} - \frac{1}{2} \left\{ \cos 2\theta + \left( - \frac{1}{2} \cos 2\theta - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2\theta \right) - \left( \frac{1}{2} \cos 2\theta - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2\theta \right) \right\} \\ &= \frac{3}{4} - \frac{1}{2} \left\{ \left( 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \right) \cos 2\theta + \left( - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \sin 2\theta \right\} \\ &= \frac{3}{4} - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ &= \frac{3}{4} \end{aligned}$$

したがって、与式の値は $\theta$ に無関係な定数 $\frac{3}{4}$ となる。

解説

三角関数の式変形における基本操作を問う問題である。$\sin \left( \theta + \frac{\pi}{3} \right)$ のような形があれば、まず加法定理で展開するというのが最も素直なアプローチである。途中、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ という基本的な関係式を用いることで、式が定数に帰着される。

別解として示した次数下げ（倍角の公式、積和の公式）も、三角関数の積分や最大値・最小値問題などで多用される強力な手法である。2次同次式の形を見たら、角を $2\theta$ にそろえるという発想を持っておくと応用が利く。