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数学2 三角関数問題 59 解説

方針・初手

和積の公式を利用して、分子と分母の式をそれぞれ積の形に変形する方針と、与えられた条件式 $x - y = \frac{\pi}{3}$ を変形して一方の文字を消去する方針の2つが考えられる。

解法1

和と差の積の公式（和積公式）を利用する。

与式の分子・分母に対してそれぞれ和積公式を適用すると、

$$\sin x - \sin y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \sin\frac{x-y}{2}$$

$$\cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}$$

となる。これらを与式に代入すると、

$$\frac{\sin x - \sin y}{\cos x + \cos y} = \frac{2 \cos\frac{x+y}{2} \sin\frac{x-y}{2}}{2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}}$$

分母が0でない、すなわち $\cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2} \neq 0$ と仮定して約分すると、

$$\frac{2 \cos\frac{x+y}{2} \sin\frac{x-y}{2}}{2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}} = \frac{\sin\frac{x-y}{2}}{\cos\frac{x-y}{2}} = \tan\frac{x-y}{2}$$

ここで、条件 $x - y = \frac{\pi}{3}$ を代入すると、

$$\tan\frac{x-y}{2} = \tan\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{3}\right) = \tan\frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$

となる。

解法2

条件式から文字を消去する方針で解く。

$x - y = \frac{\pi}{3}$ より、$x = y + \frac{\pi}{3}$ である。これを求値式の分子と分母に代入し、加法定理を用いて展開する。

分子は、

$$\begin{aligned} \sin\left(y + \frac{\pi}{3}\right) - \sin y &= \sin y \cos\frac{\pi}{3} + \cos y \sin\frac{\pi}{3} - \sin y \\ &= \frac{1}{2}\sin y + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos y - \sin y \\ &= -\frac{1}{2}\sin y + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos y \end{aligned}$$

分母は、

$$\begin{aligned} \cos\left(y + \frac{\pi}{3}\right) + \cos y &= \cos y \cos\frac{\pi}{3} - \sin y \sin\frac{\pi}{3} + \cos y \\ &= \frac{1}{2}\cos y - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin y + \cos y \\ &= \frac{3}{2}\cos y - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin y \end{aligned}$$

となる。したがって、求める式の値は、

$$\begin{aligned} \frac{\sin x - \sin y}{\cos x + \cos y} &= \frac{-\frac{1}{2}\sin y + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos y}{-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin y + \frac{3}{2}\cos y} \\ &= \frac{-\sin y + \sqrt{3}\cos y}{-\sqrt{3}\sin y + 3\cos y} \\ &= \frac{-\sin y + \sqrt{3}\cos y}{\sqrt{3}(-\sin y + \sqrt{3}\cos y)} \\ &= \frac{1}{\sqrt{3}} \end{aligned}$$

となる。

解説

三角関数の式変形における基本問題である。和積公式を記憶していれば、解法1のように素早く解答に辿り着くことができる。和積公式を忘れてしまった場合でも、解法2のように加法定理を用いて愚直に計算することで値を求めることが可能であるため、双方のアプローチを持っておくことが望ましい。なお、本問は値が一定に定まる前提の穴埋め問題であるため、分母が $0$ にならないことの厳密な確認は省略しても実戦上は問題ない。