数学2 三角関数 問題 61 解説

方針・初手

$\sin2\theta$ を求めるために、2倍角の公式 $\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ を利用する。与えられた $\tan\theta$ の値から、直接 $\sin2\theta$ を $\tan\theta$ で表す式に変形して計算するか、三角関数の相互関係を用いて必要な値を順次求めていく。

解法1

$\sin2\theta$ を $\tan\theta$ を用いた式で表す。

$$\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta = \frac{2\sin\theta\cos\theta}{\sin^2\theta + \cos^2\theta}$$

分母と分子を $\cos^2\theta$ で割ると、

$$\sin2\theta = \frac{2\tan\theta}{\tan^2\theta + 1}$$

となる。ここで与えられた $\tan\theta = \frac{1}{3}$ を代入すると、

$$\sin2\theta = \frac{2 \cdot \frac{1}{3}}{\left(\frac{1}{3}\right)^2 + 1}$$

$$= \frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{9} + 1}$$

$$= \frac{\frac{2}{3}}{\frac{10}{9}}$$

$$= \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{10} = \frac{3}{5}$$

解法2

三角関数の相互関係から $\cos^2\theta$ を求める。

$$1 + \tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta}$$

より、

$$\cos^2\theta = \frac{1}{1 + \tan^2\theta} = \frac{1}{1 + \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \frac{1}{1 + \frac{1}{9}} = \frac{9}{10}$$

また、$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ より、$\sin\theta = \tan\theta\cos\theta$ である。 したがって、2倍角の公式を用いると、

$$\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta = 2(\tan\theta\cos\theta)\cos\theta = 2\tan\theta\cos^2\theta$$

これに $\tan\theta = \frac{1}{3}$ と $\cos^2\theta = \frac{9}{10}$ を代入して、

$$\sin2\theta = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{10} = \frac{3}{5}$$

解説

$\tan\theta$ の値が与えられたときに $\sin2\theta$ の値を求める典型的な問題である。

解法1のように、分母に $\sin^2\theta + \cos^2\theta\ (=1)$ が隠れていると考えて分母分子を $\cos^2\theta$ で割る変形は、頻出の手法である。この結果である $\sin2\theta = \frac{2\tan\theta}{1+\tan^2\theta}$ を公式として覚えていれば、より素早く計算できる。公式を忘れた場合でも、解法2のように三角関数の相互関係を用いて基本に忠実に値を求めていけば問題なく解答できる。

答え

$$\frac{3}{5}$$