数学2 三角関数 問題 62 解説

方針・初手

与えられた不等式に含まれる $\sin 2x$ に2倍角の公式を適用し、式全体の因数分解を試みる。$\sin x - \cos x = t$ と置き換える手法も考えられるが、本問では因数分解によって和を積の形に直す方が見通しよく解くことができる。

解法1

与えられた不等式は

$$\sin 2x + \sin x - \cos x > \frac{1}{2}$$

2倍角の公式 $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ を用いると

$$2 \sin x \cos x + \sin x - \cos x - \frac{1}{2} > 0$$

両辺を $2$ 倍して整理する。

$$4 \sin x \cos x + 2 \sin x - 2 \cos x - 1 > 0$$

左辺を因数分解する。

$$2 \sin x (2 \cos x + 1) - (2 \cos x + 1) > 0$$

$$(2 \sin x - 1)(2 \cos x + 1) > 0$$

この不等式が成り立つのは、以下の2つの場合である。

(i) $2 \sin x - 1 > 0$ かつ $2 \cos x + 1 > 0$ のとき

(ii) $2 \sin x - 1 < 0$ かつ $2 \cos x + 1 < 0$ のとき

$0 \leqq x < 2\pi$ の範囲で、それぞれの場合について $x$ の範囲を求める。

(i) $\sin x > \frac{1}{2}$ かつ $\cos x > -\frac{1}{2}$ のとき

$0 \leqq x < 2\pi$ において、$\sin x > \frac{1}{2}$ を満たす $x$ の範囲は

$$\frac{\pi}{6} < x < \frac{5}{6}\pi$$

$\cos x > -\frac{1}{2}$ を満たす $x$ の範囲は

$$0 \leqq x < \frac{2}{3}\pi, \quad \frac{4}{3}\pi < x < 2\pi$$

これらの共通範囲をとると

$$\frac{\pi}{6} < x < \frac{2}{3}\pi$$

(ii) $\sin x < \frac{1}{2}$ かつ $\cos x < -\frac{1}{2}$ のとき

$0 \leqq x < 2\pi$ において、$\sin x < \frac{1}{2}$ を満たす $x$ の範囲は

$$0 \leqq x < \frac{\pi}{6}, \quad \frac{5}{6}\pi < x < 2\pi$$

$\cos x < -\frac{1}{2}$ を満たす $x$ の範囲は

$$\frac{2}{3}\pi < x < \frac{4}{3}\pi$$

これらの共通範囲をとると

$$\frac{5}{6}\pi < x < \frac{4}{3}\pi$$

(i), (ii) は互いに排反であるから、求める $x$ の範囲はこれらの和集合となる。

解説

$\sin 2x$ と $\sin x \pm \cos x$ が混在する式を見ると、定石として $\sin x - \cos x = t$ とおく置換を連想しやすい。しかし、実際に本問でその置換を行うと、$t$ についての 2 次不等式 $2t^2 - 2t - 1 < 0$ が得られ、解の境界値が有名角に対応しないため行き詰まってしまう。

そのような場合は、無理に置換を進めるのではなく、式を因数分解できないかという視点を持つことが重要である。本問のように、項を適切に組み合わせて共通因数をくくり出す手法は、三角関数に限らず方程式・不等式を解く際の強力な武器となる。

答え

$\frac{\pi}{6} < x < \frac{2}{3}\pi$

$\frac{5}{6}\pi < x < \frac{4}{3}\pi$