数学2 三角関数 問題 63 解説

方針・初手

与えられた関数 $f(x)$ には $\sin x$ と $\cos x$ の1次の項が含まれているため、三角関数の合成を用いて $f(x) = r \sin(x + \alpha) + c$ の形に変形する。その後、定義域から合成後の角の範囲を特定し、方程式の解および最大値・最小値を求める。

解法1

関数 $f(x)$ を三角関数の合成により変形する。

$$\begin{aligned} f(x) &= \sin x - \sqrt{3} \cos x + 1 \\ &= 2 \left( \frac{1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x \right) + 1 \\ &= 2 \sin \left( x - \frac{\pi}{3} \right) + 1 \end{aligned}$$

$x$ の定義域は $0 \leqq x \leqq \pi$ であるから、角 $x - \frac{\pi}{3}$ のとりうる値の範囲は以下のようになる。

$$-\frac{\pi}{3} \leqq x - \frac{\pi}{3} \leqq \frac{2}{3}\pi$$

(1) 方程式 $f(x)=0$ の解について

$f(x) = 0$ より、

$$2 \sin \left( x - \frac{\pi}{3} \right) + 1 = 0$$

$$\sin \left( x - \frac{\pi}{3} \right) = -\frac{1}{2}$$

$-\frac{\pi}{3} \leqq x - \frac{\pi}{3} \leqq \frac{2}{3}\pi$ の範囲でこの方程式を満たす角は、

$$x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{6}$$

これを解いて、

$$x = \frac{\pi}{6}$$

(2) $f(x)$ の最大値と最小値の差について

$-\frac{\pi}{3} \leqq x - \frac{\pi}{3} \leqq \frac{2}{3}\pi$ の範囲において、$\sin \left( x - \frac{\pi}{3} \right)$ は以下の値をとる。

• $x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$ すなわち $x = \frac{5}{6}\pi$ のとき、最大値 $1$
• $x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3}$ すなわち $x = 0$ のとき、最小値 $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、$f(x)$ の最大値は、

$$2 \cdot 1 + 1 = 3$$

$f(x)$ の最小値は、

$$2 \cdot \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) + 1 = 1 - \sqrt{3}$$

よって、最大値と最小値の差は、

$$3 - (1 - \sqrt{3}) = 2 + \sqrt{3}$$

解説

三角関数の合成の基本事項を確認する標準的な問題である。合成後に角のとりうる範囲を正確に求め、その範囲内で方程式を解き、最大値・最小値を見つけるという一連の流れは非常に典型的であり、確実に正答を導きたい。単位円を描いて視覚的に範囲や解を確認すると、ミスを防ぎやすくなる。

答え

①：$\frac{\pi}{6}$

②：$2 + \sqrt{3}$