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数学2 三角関数問題 64 解説

方針・初手

点 $\mathrm{A}$ が $(1,0)$ であり、点 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ は原点中心、半径 $1$ の円周上にあることから、点 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ の座標を $\theta$ を用いて極座標の形で設定する。四角形 $\mathrm{BPQC}$ が平行四辺形である条件は、ベクトルの等式 $\overrightarrow{\mathrm{CQ}} = \overrightarrow{\mathrm{BP}}$ を用いて処理できる。面積の最大化については、平行四辺形の面積を底辺と高さの積から立式し、三角関数の公式（積和の公式や半角・倍角の公式、合成など）を用いて1つの三角関数にまとめて考えるのが定石である。

解法1

(1)

点 $\mathrm{P}$ は原点を中心とする半径 $1$ の円周上にあり、$\angle \mathrm{AOP} = \theta$ である。条件 $0 < \theta < \frac{2\pi}{3}$ により $y$ 座標は正となるから、点 $\mathrm{P}$ の座標は $(\cos\theta, \sin\theta)$ である。同様に、$\angle \mathrm{AOQ} = \theta + \frac{\pi}{3}$ であり、$0 < \theta + \frac{\pi}{3} < \pi$ より $y$ 座標は正となるから、点 $\mathrm{Q}$ の座標は $\left(\cos\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right), \sin\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)\right)$ である。

点 $\mathrm{P}$ から $x$ 軸に引いた垂線の交点 $\mathrm{B}$ の座標は $(\cos\theta, 0)$ となるので、

$$\overrightarrow{\mathrm{BP}} = (0, \sin\theta)$$

である。四角形 $\mathrm{BPQC}$ が平行四辺形となるためには $\overrightarrow{\mathrm{CQ}} = \overrightarrow{\mathrm{BP}}$ であることが必要十分であるから、

$$\overrightarrow{\mathrm{OC}} = \overrightarrow{\mathrm{OQ}} - \overrightarrow{\mathrm{BP}} = \left( \cos\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right), \sin\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right) - \sin\theta \right)$$

となる。加法定理を用いてそれぞれの成分を整理する。 $x$ 成分は、

$$\cos\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\cos\theta - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta$$

$y$ 成分は、和積の公式を利用するか展開して整理すると、

$$\sin\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right) - \sin\theta = \frac{1}{2}\sin\theta + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta - \sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta - \frac{1}{2}\sin\theta$$

したがって、点 $\mathrm{C}$ の座標は $\left( \frac{1}{2}\cos\theta - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta, \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta - \frac{1}{2}\sin\theta \right)$ となる。

(2)

平行四辺形 $\mathrm{BPQC}$ の面積を $S$ とする。底辺を線分 $\mathrm{BP}$ とすると、その長さは $\sin\theta$ である。点 $\mathrm{Q}$ から直線 $\mathrm{BP}$ （方程式 $x = \cos\theta$）に下ろした垂線の長さを $h$ とすると、

$$h = \left| \cos\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right) - \cos\theta \right|$$

ここで、和積の公式を用いると、

$$\cos\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right) - \cos\theta = -2\sin\left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)\sin\frac{\pi}{6} = -\sin\left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)$$

$0 < \theta < \frac{2\pi}{3}$ より $\frac{\pi}{6} < \theta+\frac{\pi}{6} < \frac{5\pi}{6}$ であるから、$\sin\left(\theta+\frac{\pi}{6}\right) > 0$ である。したがって、絶対値が外れて $h = \sin\left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)$ となる。ゆえに、平行四辺形の面積 $S$ は、

$$S = \mathrm{BP} \cdot h = \sin\theta \sin\left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)$$

積和の公式を用いて変形すると、

$$S = -\frac{1}{2} \left\{ \cos\left(2\theta+\frac{\pi}{6}\right) - \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) \right\} = -\frac{1}{2} \cos\left(2\theta+\frac{\pi}{6}\right) + \frac{\sqrt{3}}{4}$$

$0 < \theta < \frac{2\pi}{3}$ より $\frac{\pi}{6} < 2\theta+\frac{\pi}{6} < \frac{3\pi}{2}$ である。よって、$S$ は $\cos\left(2\theta+\frac{\pi}{6}\right) = -1$ のとき、すなわち $2\theta+\frac{\pi}{6} = \pi$ より $\theta = \frac{5\pi}{12}$ のとき最大となる。その最大値は、

$$S = -\frac{1}{2}(-1) + \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{2+\sqrt{3}}{4}$$

である。

解法2

(2) の別解（面積の式を合成で処理する方法）

(2) で求めた面積 $S = \sin\theta \sin\left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)$ について、加法定理を用いて展開する。

$$S = \sin\theta \left( \sin\theta \cos\frac{\pi}{6} + \cos\theta \sin\frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin^2\theta + \frac{1}{2} \sin\theta \cos\theta$$

半角の公式および倍角の公式を用いて $2\theta$ の式で表すと、

$$S = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1 - \cos 2\theta}{2} + \frac{1}{4} \sin 2\theta = \frac{1}{4} \sin 2\theta - \frac{\sqrt{3}}{4} \cos 2\theta + \frac{\sqrt{3}}{4}$$

三角関数の合成を行うと、

$$S = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2}\sin 2\theta - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2\theta \right) + \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{1}{2} \sin\left(2\theta - \frac{\pi}{3}\right) + \frac{\sqrt{3}}{4}$$

$0 < \theta < \frac{2\pi}{3}$ より $0 < 2\theta < \frac{4\pi}{3}$ であるから、

$$-\frac{\pi}{3} < 2\theta - \frac{\pi}{3} < \pi$$

この範囲において、$\sin\left(2\theta - \frac{\pi}{3}\right)$ は $2\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$ のとき、すなわち $\theta = \frac{5\pi}{12}$ のとき最大値 $1$ をとる。したがって、面積の最大値は、

$$\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{2+\sqrt{3}}{4}$$

である。

解説

図形の性質を座標平面上で処理し、三角関数の最大・最小問題に帰着させる標準的な問題である。点 $\mathrm{C}$ の座標を求める際、$\overrightarrow{\mathrm{BC}} = \overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ などを用いて計算しても良いが、「四角形 $\mathrm{BPQC}$ が平行四辺形」という順序に注意し、$\overrightarrow{\mathrm{BP}} = \overrightarrow{\mathrm{CQ}}$ を利用するのが簡明である。後半の最大値問題では、$y$ 軸に平行な線分 $\mathrm{BP}$ を底辺とみなすことで面積を簡潔に表すことができる。その後、次数下げ（半角の公式）と合成を用いるか、積和の公式を用いるかの選択になるが、どちらの方法も頻出であるため確実に習熟しておきたい。