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数学2 三角関数問題 65 解説

方針・初手

与えられた三角関数の積を、$\sin\theta$ のみを用いた式に変形する。加法定理を用いて和と差の積の形を展開するか、積和の公式を用いて変形していくのが定石である。

解法1

与式の後半部分について、加法定理を用いて展開し計算する。

$$\sin\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right) \sin\left(\theta-\frac{\pi}{3}\right) = \left( \sin\theta \cos\frac{\pi}{3} + \cos\theta \sin\frac{\pi}{3} \right) \left( \sin\theta \cos\frac{\pi}{3} - \cos\theta \sin\frac{\pi}{3} \right)$$

展開して整理すると、

$$\begin{aligned} \left( \sin\theta \cos\frac{\pi}{3} + \cos\theta \sin\frac{\pi}{3} \right) \left( \sin\theta \cos\frac{\pi}{3} - \cos\theta \sin\frac{\pi}{3} \right) &= \sin^2\theta \cos^2\frac{\pi}{3} - \cos^2\theta \sin^2\frac{\pi}{3} \\ &= \sin^2\theta \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \cos^2\theta \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \\ &= \frac{1}{4}\sin^2\theta - \frac{3}{4}\cos^2\theta \end{aligned}$$

ここで、$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ を代入すると、

$$\begin{aligned} \frac{1}{4}\sin^2\theta - \frac{3}{4}\cos^2\theta &= \frac{1}{4}\sin^2\theta - \frac{3}{4}(1 - \sin^2\theta) \\ &= \frac{1}{4}\sin^2\theta - \frac{3}{4} + \frac{3}{4}\sin^2\theta \\ &= \sin^2\theta - \frac{3}{4} \end{aligned}$$

となる。したがって、元の式は次のように変形できる。

$$\begin{aligned} \sin\theta \sin\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right) \sin\left(\theta-\frac{\pi}{3}\right) &= \sin\theta \left( \sin^2\theta - \frac{3}{4} \right) \\ &= \sin^3\theta - \frac{3}{4}\sin\theta \end{aligned}$$

これと $a\sin^3\theta + b\sin\theta$ を係数比較することにより、$a = 1, b = -\frac{3}{4}$ を得る。

解法2

積和の公式を用いて変形する。

$$\begin{aligned} \sin\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right) \sin\left(\theta-\frac{\pi}{3}\right) &= -\frac{1}{2} \left\{ \cos\left( \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right) + \left(\theta-\frac{\pi}{3}\right) \right) - \cos\left( \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right) - \left(\theta-\frac{\pi}{3}\right) \right) \right\} \\ &= -\frac{1}{2} \left( \cos2\theta - \cos\frac{2\pi}{3} \right) \\ &= -\frac{1}{2} \left( \cos2\theta - \left(-\frac{1}{2}\right) \right) \\ &= -\frac{1}{2}\cos2\theta - \frac{1}{4} \end{aligned}$$

これを与式に代入すると、

$$\begin{aligned} \sin\theta \sin\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right) \sin\left(\theta-\frac{\pi}{3}\right) &= \sin\theta \left( -\frac{1}{2}\cos2\theta - \frac{1}{4} \right) \\ &= -\frac{1}{2}\sin\theta \cos2\theta - \frac{1}{4}\sin\theta \end{aligned}$$

ここで、2倍角の公式 $\cos2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$ を用いると、

$$\begin{aligned} -\frac{1}{2}\sin\theta (1 - 2\sin^2\theta) - \frac{1}{4}\sin\theta &= -\frac{1}{2}\sin\theta + \sin^3\theta - \frac{1}{4}\sin\theta \\ &= \sin^3\theta - \frac{3}{4}\sin\theta \end{aligned}$$

となる。したがって、$a = 1, b = -\frac{3}{4}$ を得る。

解説

三角関数の式の値を求めたり、簡略化したりする基本的な計算問題である。解答の形が $\sin$ のみを用いた多項式になっているため、すべての項を $\sin$ で表すことを目標に変形を進めればよい。

本問は実質的に $\sin3\theta$ の3倍角の公式の導出に関連する形をしている。実際、求めた式を $- \frac{1}{4}$ でくくると $-\frac{1}{4}(3\sin\theta - 4\sin^3\theta) = -\frac{1}{4}\sin3\theta$ となる。この事実は公式として知られているものであり、見通しを持った式変形や検算に役立つ。