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数学2 三角関数問題 67 解説

方針・初手

(1) は与えられた等式から $y$ を消去して三角関数の合成を用いるか、和積の公式を用いて $x+y$ のかたまりを作り出すのが基本である。

(2) は (1) の和積の公式を利用した考え方を応用する。$x-y$ の部分を余弦関数の値域から不等式に変換し、$x+y$ についての条件を絞り込むとよい。あるいは、$X = \cos x + \cos y$ とおき、実数存在条件から $X$ の範囲を求め、$\sin(x+y)$ を $X$ の関数として表す手法も有効である。

解法1

(1)

条件より $y = \frac{\pi}{3} - x$ である。これを代入すると、

$$\sin x + \sin y = \sin x + \sin\left(\frac{\pi}{3} - x\right)$$

加法定理を用いて展開すると、

$$\sin x + \sin\left(\frac{\pi}{3} - x\right) = \sin x + \sin\frac{\pi}{3}\cos x - \cos\frac{\pi}{3}\sin x$$

$$= \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x - \frac{1}{2}\sin x$$

$$= \frac{1}{2}\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x$$

三角関数の合成を用いると、

$$\frac{1}{2}\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x = \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$$

ここで、$x$ はすべての実数値をとりうるため、$x + \frac{\pi}{3}$ もすべての実数値をとりうる。したがって、正弦関数の値域より、

$$-1 \leqq \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) \leqq 1$$

よって、$\sin x + \sin y$ のとりうる値の範囲は $-1 \leqq \sin x + \sin y \leqq 1$ である。

(2)

和積の公式より、

$$\sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$$

条件より $\sin x + \sin y = \frac{8}{5}$ であるから、

$$2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} = \frac{8}{5}$$

$$\cos\frac{x-y}{2} = \frac{4}{5\sin\frac{x+y}{2}}$$

$\cos\frac{x-y}{2}$ は実数であるから、$-1 \leqq \cos\frac{x-y}{2} \leqq 1$ を満たさなければならない。したがって、

$$-1 \leqq \frac{4}{5\sin\frac{x+y}{2}} \leqq 1$$

$$\left| \frac{4}{5\sin\frac{x+y}{2}} \right| \leqq 1$$

両辺に正の値である $\left| 5\sin\frac{x+y}{2} \right|$ を掛けると、

$$4 \leqq \left| 5\sin\frac{x+y}{2} \right|$$

両辺を2乗して、

$$16 \leqq 25\sin^2\frac{x+y}{2}$$

$$\sin^2\frac{x+y}{2} \geqq \frac{16}{25}$$

半角の公式 $\sin^2\frac{x+y}{2} = \frac{1-\cos(x+y)}{2}$ を用いると、

$$\frac{1-\cos(x+y)}{2} \geqq \frac{16}{25}$$

$$1 - \cos(x+y) \geqq \frac{32}{25}$$

$$\cos(x+y) \leqq 1 - \frac{32}{25} = -\frac{7}{25}$$

また、余弦関数の値域から常に $\cos(x+y) \geqq -1$ であるから、

$$-1 \leqq \cos(x+y) \leqq -\frac{7}{25}$$

このとき、$\cos^2(x+y)$ のとりうる値の範囲は、

$$\frac{49}{625} \leqq \cos^2(x+y) \leqq 1$$

$\sin^2(x+y) = 1 - \cos^2(x+y)$ であるから、

$$1 - 1 \leqq \sin^2(x+y) \leqq 1 - \frac{49}{625}$$

$$0 \leqq \sin^2(x+y) \leqq \frac{576}{625}$$

$\frac{576}{625} = \left(\frac{24}{25}\right)^2$ であるから、$\sin(x+y)$ のとりうる値の範囲は、

$$-\frac{24}{25} \leqq \sin(x+y) \leqq \frac{24}{25}$$

となる。

解法2

(1)

和積の公式より、

$$\sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$$

条件より $x+y = \frac{\pi}{3}$ であるから、これを代入すると、

$$\sin x + \sin y = 2\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{x-y}{2}$$

$$= 2 \cdot \frac{1}{2}\cos\frac{x-y}{2} = \cos\frac{x-y}{2}$$

$x, y$ がすべての実数値をとりうるとき、$\frac{x-y}{2}$ もすべての実数値をとりうる。余弦関数の値域より、

$$-1 \leqq \cos\frac{x-y}{2} \leqq 1$$

よって、$\sin x + \sin y$ のとりうる値の範囲は $-1 \leqq \sin x + \sin y \leqq 1$ である。

(2)

$X = \cos x + \cos y$、$Y = \sin x + \sin y$ とおく。

条件より $Y = \frac{8}{5}$ である。

$x, y$ が実数として存在するための条件を $X$ と $Y$ で表す。

$$X^2 + Y^2 = (\cos x + \cos y)^2 + (\sin x + \sin y)^2$$

$$= (\cos^2 x + \sin^2 x) + (\cos^2 y + \sin^2 y) + 2(\cos x \cos y + \sin x \sin y)$$

$$= 2 + 2\cos(x-y)$$

$-1 \leqq \cos(x-y) \leqq 1$ であるから、

$$0 \leqq X^2 + Y^2 \leqq 4$$

$Y = \frac{8}{5}$ を代入すると、

$$X^2 + \frac{64}{25} \leqq 4$$

$$X^2 \leqq 4 - \frac{64}{25} = \frac{36}{25}$$

よって、$-\frac{6}{5} \leqq X \leqq \frac{6}{5}$ である。

次に、加法定理 $\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$ に着目し、$XY$ を計算する。

$$XY = (\cos x + \cos y)(\sin x + \sin y)$$

$$= \cos x \sin x + \cos x \sin y + \cos y \sin x + \cos y \sin y$$

$$= \frac{1}{2}\sin 2x + \frac{1}{2}\sin 2y + \sin(x+y)$$

$$= \frac{1}{2}(\sin 2x + \sin 2y) + \sin(x+y)$$

和積の公式 $\sin 2x + \sin 2y = 2\sin(x+y)\cos(x-y)$ を用いると、

$$XY = \sin(x+y)\cos(x-y) + \sin(x+y)$$

$$= \sin(x+y)\{1 + \cos(x-y)\}$$

ここで、$X^2 + Y^2 = 2\{1 + \cos(x-y)\}$ であったから、$1 + \cos(x-y) = \frac{X^2 + Y^2}{2}$ となる。これを代入すると、

$$XY = \sin(x+y) \cdot \frac{X^2 + Y^2}{2}$$

$Y = \frac{8}{5}$ より $X^2 + Y^2 > 0$ であるから、

$$\sin(x+y) = \frac{2XY}{X^2 + Y^2}$$

$Y = \frac{8}{5}$ を代入すると、

$$\sin(x+y) = \frac{2X \cdot \frac{8}{5}}{X^2 + \frac{64}{25}} = \frac{80X}{25X^2 + 64}$$

右辺を $f(X)$ とおく。$X$ で微分すると、

$$f'(X) = \frac{80(25X^2 + 64) - 80X \cdot 50X}{(25X^2 + 64)^2} = \frac{80(64 - 25X^2)}{(25X^2 + 64)^2}$$

$-\frac{6}{5} \leqq X \leqq \frac{6}{5}$ の範囲において、$25X^2 \leqq 36 < 64$ であるから、$f'(X) > 0$ となる。すなわち、$f(X)$ はこの範囲で単調に増加する。したがって、$f(X)$ のとりうる値の範囲は $f\left(-\frac{6}{5}\right) \leqq f(X) \leqq f\left(\frac{6}{5}\right)$ である。

$$f\left(\frac{6}{5}\right) = \frac{80 \cdot \frac{6}{5}}{25 \cdot \frac{36}{25} + 64} = \frac{96}{36 + 64} = \frac{96}{100} = \frac{24}{25}$$

$$f\left(-\frac{6}{5}\right) = -\frac{24}{25}$$

以上より、$\sin(x+y)$ のとりうる値の範囲は、

$$-\frac{24}{25} \leqq \sin(x+y) \leqq \frac{24}{25}$$

となる。

解説

(1) は和積の公式や三角関数の合成といった基本的な変形で解決できる。これを通じて、(2) に向けて「和積の公式を利用して条件を絞り込む」という視点を持つことが重要である。

(2) は難易度が上がるが、解法1のように $\cos\frac{x-y}{2}$ の存在条件（値域が $-1$ 以上 $1$ 以下であること）を利用して不等式を立てるアプローチが鮮やかである。一方、解法2で紹介した $X = \cos x + \cos y$, $Y = \sin x + \sin y$ とおく手法は、「2つの角の和や差の三角関数」を扱う際に汎用性が高い。点 $(\cos x, \sin x)$ と点 $(\cos y, \sin y)$ の中点ベクトルや内積といった図形的な意味を背景に持っており、実数条件を $X^2+Y^2 \leqq 4$ として簡潔に処理できる点が優秀である。