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数学2 三角関数問題 68 解説

方針・初手

(1)は加法定理を用いて左辺を展開し、整理することで証明する。 (2)は(1)で示した式（いわゆる積和の公式）を用いて、数列の和の各項を差の形に変形する。これにより、足し合わせる過程で中間項が打ち消し合う「望遠鏡和」の形に持ち込む。 (3)は(2)の恒等式において、具体的な $\theta$ の値を代入することで目的の式を導く。(2)の $\cos 2k\theta$ と(3)の $\cos\frac{k\pi}{2n}$ を比較して、代入すべき $\theta$ の値を見抜くことが重要である。

解法1

(1)

正弦の加法定理より、以下の2つの式が成り立つ。

$$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta \quad \cdots ①$$

$$\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta \quad \cdots ②$$

①から②を辺々引くと、

$$\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta) = 2\cos\alpha\sin\beta$$

となり、与式は成り立つ。

(2)

(1)で示した等式において、$\alpha = 2k\theta$、$\beta = \theta$ とおくと、

$$\sin(2k\theta + \theta) - \sin(2k\theta - \theta) = 2\cos 2k\theta \sin\theta$$

$$2\cos 2k\theta \sin\theta = \sin(2k+1)\theta - \sin(2k-1)\theta$$

これを用いて、与式の左辺について和の計算を行う。

$$\begin{aligned} 2\sum_{k=1}^{n}\cos 2k\theta \sin\theta &= \sum_{k=1}^{n} \{ \sin(2k+1)\theta - \sin(2k-1)\theta \} \\ &= (\sin 3\theta - \sin\theta) + (\sin 5\theta - \sin 3\theta) + \cdots + \{ \sin(2n+1)\theta - \sin(2n-1)\theta \} \\ &= \sin(2n+1)\theta - \sin\theta \end{aligned}$$

途中の項がすべて打ち消し合い、最初と最後のみが残る。よって、与式は成り立つ。

(3)

(2)で示した等式

$$2\sum_{k=1}^{n}\cos 2k\theta \sin\theta = \sin(2n+1)\theta - \sin\theta$$

において、$\theta = \frac{\pi}{4n}$ と代入する。

左辺は、

$$2\sum_{k=1}^{n}\cos \left( 2k \cdot \frac{\pi}{4n} \right) \sin\frac{\pi}{4n} = 2\sum_{k=1}^{n}\cos \frac{k\pi}{2n} \sin\frac{\pi}{4n}$$

右辺は、

$$\sin \left\{ (2n+1)\cdot \frac{\pi}{4n} \right\} - \sin\frac{\pi}{4n} = \sin \left( \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4n} \right) - \sin\frac{\pi}{4n}$$

ここで、$\sin \left( \frac{\pi}{2} + x \right) = \cos x$ の関係を用いると、

$$\sin \left( \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4n} \right) = \cos\frac{\pi}{4n}$$

ゆえに、(2)で得た等式は次のように表される。

$$\left( 2\sum_{k=1}^{n}\cos \frac{k\pi}{2n} \right) \sin\frac{\pi}{4n} = \cos\frac{\pi}{4n} - \sin\frac{\pi}{4n}$$

$n$ は自然数であるから、$0 < \frac{\pi}{4n} \leqq \frac{\pi}{4}$ であり、$\sin\frac{\pi}{4n} \neq 0$ である。両辺を $\sin\frac{\pi}{4n}$ で割ると、

$$2\sum_{k=1}^{n}\cos \frac{k\pi}{2n} = \frac{\cos\frac{\pi}{4n}}{\sin\frac{\pi}{4n}} - 1$$

$$2\sum_{k=1}^{n}\cos \frac{k\pi}{2n} = \frac{1}{\tan\frac{\pi}{4n}} - 1$$

両辺に $1$ を加えると、

$$1 + 2\sum_{k=1}^{n}\cos \frac{k\pi}{2n} = \frac{1}{\tan\frac{\pi}{4n}}$$

ここで、$\frac{\pi}{4n}$ は鋭角であるから $\tan\frac{\pi}{4n} > 0$ であり、したがって右辺は $0$ ではないため、両辺の逆数をとることができる。

$$\tan\frac{\pi}{4n} = \frac{1}{1 + 2\sum_{k=1}^{n}\cos\frac{k\pi}{2n}}$$

となり、与式は成り立つ。

解説

三角関数の和に関する頻出かつ典型的な証明問題である。 (1)は和と積の公式（積和の公式）の導出そのものであり、加法定理を書き出して足し引きするだけで得られる。 (2)は数列の和の計算において強力な手法である「階差の形を作り出し、和をとって相殺させる」というアプローチを用いる。隣接する奇数倍角の差の形になるため、鮮やかに計算できる。 (3)は前の設問を利用する誘導問題の典型である。(2)の $\cos 2k\theta$ の部分と、(3)で求めたい式に含まれる $\cos\frac{k\pi}{2n}$ の部分の形を見比べることで、$\theta = \frac{\pi}{4n}$ を代入すればよいと気づけるかが最大のポイントとなる。代入後は $\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos x$ の性質を用いて式を簡略化し、$\tan$ の形を作るために適切に変形していく。式変形の途中でゼロ割りが発生しないことを確認して進めることが、論理の厳密性を保つ上で重要である。