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数学2 三角関数問題 69 解説

方針・初手

(1)は、加法定理を繰り返し用いて $\cos 5\theta$ を展開するか、ド・モアブルの定理を用いて $(\cos\theta + i\sin\theta)^5$ を展開し、その実部を比較することで $\cos 5\theta$ を $\cos\theta$ の多項式で表す。

(2)は、(1)で求めた多項式 $f(x)$ を利用する方針と、三角関数の公式を用いて直接計算する方針がある。前者は方程式 $f(x)=0$ の解の性質と解と係数の関係を利用し、後者は倍角・半角の公式や積和の公式を利用して値を直接求める。

解法1

(1)

加法定理および2倍角、3倍角の公式を用いて $\cos 5\theta$ を展開する。

$$\begin{aligned} \cos 5\theta &= \cos(3\theta + 2\theta) \\ &= \cos 3\theta \cos 2\theta - \sin 3\theta \sin 2\theta \end{aligned}$$

ここで、それぞれの公式から以下が成り立つ。

$$\begin{aligned} \cos 3\theta &= 4\cos^3\theta - 3\cos\theta \\ \cos 2\theta &= 2\cos^2\theta - 1 \\ \sin 3\theta &= 3\sin\theta - 4\sin^3\theta = \sin\theta(3 - 4\sin^2\theta) \\ \sin 2\theta &= 2\sin\theta\cos\theta \end{aligned}$$

これらを代入して整理する。

$$\begin{aligned} \cos 5\theta &= (4\cos^3\theta - 3\cos\theta)(2\cos^2\theta - 1) - \sin\theta(3 - 4\sin^2\theta) \cdot 2\sin\theta\cos\theta \\ &= 8\cos^5\theta - 10\cos^3\theta + 3\cos\theta - 2\sin^2\theta\cos\theta(3 - 4\sin^2\theta) \end{aligned}$$

$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$ を用いて $\sin\theta$ を消去する。

$$\begin{aligned} \sin^2\theta(3 - 4\sin^2\theta) &= (1 - \cos^2\theta) \{3 - 4(1 - \cos^2\theta)\} \\ &= (1 - \cos^2\theta)(4\cos^2\theta - 1) \\ &= -4\cos^4\theta + 5\cos^2\theta - 1 \end{aligned}$$

したがって、

$$\begin{aligned} \cos 5\theta &= 8\cos^5\theta - 10\cos^3\theta + 3\cos\theta - 2\cos\theta(-4\cos^4\theta + 5\cos^2\theta - 1) \\ &= 8\cos^5\theta - 10\cos^3\theta + 3\cos\theta + 8\cos^5\theta - 10\cos^3\theta + 2\cos\theta \\ &= 16\cos^5\theta - 20\cos^3\theta + 5\cos\theta \end{aligned}$$

よって、求める多項式 $f(x)$ は以下となる。

$$f(x) = 16x^5 - 20x^3 + 5x$$

(2)

$\theta = \frac{\pi}{10}, \frac{3\pi}{10}, \frac{7\pi}{10}, \frac{9\pi}{10}$ のとき、$5\theta$ はそれぞれ $\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}, \frac{9\pi}{2}$ となる。これらの角に対してはすべて $\cos 5\theta = 0$ が成り立つ。

(1)の結果から、$f(\cos\theta) = \cos 5\theta$ であるため、上記の $\theta$ に対して $f(\cos\theta) = 0$ となる。すなわち、$x = \cos\frac{\pi}{10}, \cos\frac{3\pi}{10}, \cos\frac{7\pi}{10}, \cos\frac{9\pi}{10}$ は方程式 $16x^5 - 20x^3 + 5x = 0$ の解である。

この方程式は $x(16x^4 - 20x^2 + 5) = 0$ と因数分解できるが、$\cos\frac{\pi}{10}, \cos\frac{3\pi}{10}, \cos\frac{7\pi}{10}, \cos\frac{9\pi}{10}$ はいずれも $0$ ではないため、これら4つの値は4次方程式

$$16x^4 - 20x^2 + 5 = 0$$

を満たす。また、$0 < \theta < \pi$ の範囲において $\cos\theta$ は単調に減少するため、これら4つの解はすべて互いに異なる実数である。したがって、この4次方程式の4つの解そのものが $\cos\frac{\pi}{10}, \cos\frac{3\pi}{10}, \cos\frac{7\pi}{10}, \cos\frac{9\pi}{10}$ である。

4次方程式の解と係数の関係より、4つの解の積は定数項を最高次係数で割ったものとなるため、

$$\cos\frac{\pi}{10}\cos\frac{3\pi}{10}\cos\frac{7\pi}{10}\cos\frac{9\pi}{10} = \frac{5}{16}$$

が成り立つ。よって題意は示された。

解法2

(1)

ド・モアブルの定理より、以下の等式が成り立つ。

$$\cos 5\theta + i\sin 5\theta = (\cos\theta + i\sin\theta)^5$$

右辺を二項定理を用いて展開する。

$$\begin{aligned} (\cos\theta + i\sin\theta)^5 &= \cos^5\theta + 5i\cos^4\theta\sin\theta + 10i^2\cos^3\theta\sin^2\theta + 10i^3\cos^2\theta\sin^3\theta + 5i^4\cos\theta\sin^4\theta + i^5\sin^5\theta \\ &= \cos^5\theta + 5i\cos^4\theta\sin\theta - 10\cos^3\theta\sin^2\theta - 10i\cos^2\theta\sin^3\theta + 5\cos\theta\sin^4\theta + i\sin^5\theta \end{aligned}$$

両辺の実部を比較すると、以下のようになる。

$$\cos 5\theta = \cos^5\theta - 10\cos^3\theta\sin^2\theta + 5\cos\theta\sin^4\theta$$

$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$ を代入して $\cos\theta$ のみの式に変形する。

$$\begin{aligned} \cos 5\theta &= \cos^5\theta - 10\cos^3\theta(1 - \cos^2\theta) + 5\cos\theta(1 - \cos^2\theta)^2 \\ &= \cos^5\theta - 10\cos^3\theta + 10\cos^5\theta + 5\cos\theta(1 - 2\cos^2\theta + \cos^4\theta) \\ &= 11\cos^5\theta - 10\cos^3\theta + 5\cos\theta - 10\cos^3\theta + 5\cos^5\theta \\ &= 16\cos^5\theta - 20\cos^3\theta + 5\cos\theta \end{aligned}$$

よって、求める多項式 $f(x)$ は以下となる。

$$f(x) = 16x^5 - 20x^3 + 5x$$

(2)

三角関数の性質 $\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta$ より、以下が成り立つ。

$$\begin{aligned} \cos\frac{9\pi}{10} &= -\cos\frac{\pi}{10} \\ \cos\frac{7\pi}{10} &= -\cos\frac{3\pi}{10} \end{aligned}$$

これを与式に代入すると、求める積は以下のように変形できる。

$$\cos\frac{\pi}{10}\cos\frac{3\pi}{10}\cos\frac{7\pi}{10}\cos\frac{9\pi}{10} = \cos^2\frac{\pi}{10}\cos^2\frac{3\pi}{10}$$

半角の公式を用いると、

$$\cos^2\frac{\pi}{10} = \frac{1 + \cos\frac{\pi}{5}}{2}, \quad \cos^2\frac{3\pi}{10} = \frac{1 + \cos\frac{3\pi}{5}}{2}$$

となるため、積は以下のように計算できる。

$$\begin{aligned} \cos^2\frac{\pi}{10}\cos^2\frac{3\pi}{10} &= \frac{1 + \cos\frac{\pi}{5}}{2} \cdot \frac{1 + \cos\frac{3\pi}{5}}{2} \\ &= \frac{1}{4} \left( 1 + \cos\frac{\pi}{5} + \cos\frac{3\pi}{5} + \cos\frac{\pi}{5}\cos\frac{3\pi}{5} \right) \end{aligned}$$

ここで、$\alpha = \frac{\pi}{5}$ とおくと、$5\alpha = \pi$ より $3\alpha = \pi - 2\alpha$ が成り立つ。この両辺の正弦をとると、$\sin 3\alpha = \sin(\pi - 2\alpha) = \sin 2\alpha$ となる。 2倍角、3倍角の公式より、

$$3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$$

$\sin\alpha = \sin\frac{\pi}{5} \neq 0$ であるから、両辺を $\sin\alpha$ で割ることができる。

$$3 - 4\sin^2\alpha = 2\cos\alpha$$

$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$ を代入して整理すると、

$$\begin{aligned} 3 - 4(1 - \cos^2\alpha) &= 2\cos\alpha \\ 4\cos^2\alpha - 2\cos\alpha - 1 &= 0 \end{aligned}$$

$\cos\frac{\pi}{5} > 0$ であるため、$\cos\frac{\pi}{5} = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$ である。同様に、$\theta = \frac{3\pi}{5}$ のときも $5\theta = 3\pi$ となり、$\sin 3\theta = \sin(3\pi - 2\theta) = \sin 2\theta$ が成り立つため、$\cos\frac{3\pi}{5}$ も2次方程式 $4x^2 - 2x - 1 = 0$ の解である。$\cos\frac{3\pi}{5} < 0$ より $\cos\frac{3\pi}{5} = \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$ となる。

解と係数の関係より、

$$\begin{aligned} \cos\frac{\pi}{5} + \cos\frac{3\pi}{5} &= \frac{1}{2} \\ \cos\frac{\pi}{5}\cos\frac{3\pi}{5} &= -\frac{1}{4} \end{aligned}$$

これらを先ほどの積の式に代入する。

$$\frac{1}{4} \left( 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) = \frac{1}{4} \times \frac{5}{4} = \frac{5}{16}$$

よって、題意は示された。

解説

(1)のように $\cos n\theta$ を $\cos\theta$ の多項式で表したものを「チェビシェフ多項式」と呼ぶ。加法定理の反復やド・モアブルの定理から導出する流れは頻出であるため、確実に押さえておきたい。 (2)において、解法1のように「方程式の解の性質」に帰着させるアプローチは非常に強力であり、複雑な三角関数の積や和を計算する際の有効な手段となる。解法2の直接計算は $\cos 36^\circ$ や $\cos 108^\circ$ の有名角の導出経験があれば自然に発想できるが、計算量はやや多くなる。