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数学2 三角関数問題 70 解説

方針・初手

(1)は三角比の相互関係を用いて求める。

(2)は正接の加法定理を2回用いることで $\tan(\alpha + \beta + \gamma)$ を計算する。$\alpha + \beta + \gamma$ の値を決定する際には、各角の正接の値から $\alpha, \beta, \gamma$ のとりうる値の範囲を絞り込むことが重要である。

(3)は正接の加法定理を用いて $\tan(\beta - \alpha)$ と $\tan(\gamma - \beta)$ をそれぞれ計算し、それらの大小を比較する。角の範囲における正接関数の単調増加性を利用する。

(4)は(2)の結果と(3)の不等式を組み合わせることで、$\alpha, \gamma$ を消去し $\beta$ だけの不等式を作る。

解法1

(1)

$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ であるから、$\cos \alpha > 0, \sin \alpha > 0$ である。

相互関係 $1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$ より、

$$\cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + 2^2} = \frac{1}{5}$$

$\cos \alpha > 0$ より $\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}$ である。

よって、求める値は、

$$\sin \alpha = \tan \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$

(2)

正接の加法定理より、

$$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} = \frac{2 + 5}{1 - 2 \cdot 5} = \frac{7}{-9} = -\frac{7}{9}$$

さらに加法定理を用いると、

$$\tan(\alpha + \beta + \gamma) = \frac{\tan(\alpha + \beta) + \tan \gamma}{1 - \tan(\alpha + \beta) \tan \gamma} = \frac{-\frac{7}{9} + 8}{1 - \left(-\frac{7}{9}\right) \cdot 8} = \frac{\frac{65}{9}}{\frac{65}{9}} = 1$$

次に、$\alpha + \beta + \gamma$ の範囲を調べる。

$0 < \alpha, \beta, \gamma < \frac{\pi}{2}$ であり、$\tan \alpha = 2 > 1 = \tan \frac{\pi}{4}$ であるから、$\alpha, \beta, \gamma$ の大小関係も考慮すると、

$$\frac{\pi}{4} < \alpha < \frac{\pi}{2}, \quad \frac{\pi}{4} < \beta < \frac{\pi}{2}, \quad \frac{\pi}{4} < \gamma < \frac{\pi}{2}$$

各辺を加えると、

$$\frac{3\pi}{4} < \alpha + \beta + \gamma < \frac{3\pi}{2}$$

この範囲で $\tan(\alpha + \beta + \gamma) = 1$ を満たす角は、

$$\alpha + \beta + \gamma = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$$

(3)

正接の加法定理より、

$$\tan(\beta - \alpha) = \frac{\tan \beta - \tan \alpha}{1 + \tan \beta \tan \alpha} = \frac{5 - 2}{1 + 5 \cdot 2} = \frac{3}{11}$$

$$\tan(\gamma - \beta) = \frac{\tan \gamma - \tan \beta}{1 + \tan \gamma \tan \beta} = \frac{8 - 5}{1 + 8 \cdot 5} = \frac{3}{41}$$

$\frac{3}{11} > \frac{3}{41}$ であるから、

$$\tan(\beta - \alpha) > \tan(\gamma - \beta)$$

また、$0 < \alpha < \beta < \gamma < \frac{\pi}{2}$ より、$0 < \beta - \alpha < \frac{\pi}{2}$ かつ $0 < \gamma - \beta < \frac{\pi}{2}$ である。

この範囲で $\tan x$ は単調増加であるから、

$$\beta - \alpha > \gamma - \beta$$

が成り立つ。

(4)

(3)で示した不等式 $\beta - \alpha > \gamma - \beta$ を整理すると、

$$2\beta > \alpha + \gamma$$

両辺に $\beta$ を加えると、

$$3\beta > \alpha + \beta + \gamma$$

(2)より $\alpha + \beta + \gamma = \frac{5\pi}{4}$ であるから、

$$3\beta > \frac{5\pi}{4}$$

$$\beta > \frac{5\pi}{12}$$

が成り立つ。

解説

(2)で $\alpha + \beta + \gamma$ の値を求める際、単に $\tan(\alpha + \beta + \gamma) = 1$ から直ちに $\frac{\pi}{4}$ などとしてはいけない。必ず $\alpha, \beta, \gamma$ のとりうる値の範囲を評価し、$\alpha + \beta + \gamma$ の範囲を適切に絞り込む必要がある。(4)は単独で出題されると示しにくい不等式であるが、前の設問が誘導になっていることに気づけば、(2)の方程式と(3)の不等式を代数的に組み合わせるだけで容易に証明できる。