数学2 三角関数 問題 71 解説

方針・初手

2倍角の公式を用いて、$\tan \theta$ および $\sin \theta$ を $\tan \frac{\theta}{2}$ の式で表す。 $t = \tan \frac{\theta}{2}$ とおくとき、三角関数を $t$ の有理式で表す変形は頻出であるため、公式として記憶しておくか、2倍角の公式からすぐに導出できるようにしておく。

解法1

$\tan$ の2倍角の公式より、

$$\tan \theta = \frac{2 \tan \frac{\theta}{2}}{1 - \tan^2 \frac{\theta}{2}}$$

$\tan \frac{\theta}{2} = 2$ を代入して、

$$\tan \theta = \frac{2 \cdot 2}{1 - 2^2} = \frac{4}{-3} = -\frac{4}{3}$$

次に、$\sin \theta$ について、2倍角の公式から出発し、分母に $1 = \cos^2 \frac{\theta}{2} + \sin^2 \frac{\theta}{2}$ があるとみなして変形する。

$$\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2} = \frac{2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}}{\cos^2 \frac{\theta}{2} + \sin^2 \frac{\theta}{2}}$$

分母分子を $\cos^2 \frac{\theta}{2}$ で割ると、

$$\sin \theta = \frac{2 \tan \frac{\theta}{2}}{1 + \tan^2 \frac{\theta}{2}}$$

$\tan \frac{\theta}{2} = 2$ を代入して、

$$\sin \theta = \frac{2 \cdot 2}{1 + 2^2} = \frac{4}{5}$$

解法2

$\tan \theta$ を求めた後、$\cos \theta$ を経由して $\sin \theta$ を求める。

解法1と同様に、$\tan$ の2倍角の公式より、

$$\tan \theta = -\frac{4}{3}$$

また、$\cos \theta$ についても2倍角の公式を用いて変形する。分母に $1 = \cos^2 \frac{\theta}{2} + \sin^2 \frac{\theta}{2}$ があるとみなす。

$$\cos \theta = \cos^2 \frac{\theta}{2} - \sin^2 \frac{\theta}{2} = \frac{\cos^2 \frac{\theta}{2} - \sin^2 \frac{\theta}{2}}{\cos^2 \frac{\theta}{2} + \sin^2 \frac{\theta}{2}}$$

分母分子を $\cos^2 \frac{\theta}{2}$ で割ると、

$$\cos \theta = \frac{1 - \tan^2 \frac{\theta}{2}}{1 + \tan^2 \frac{\theta}{2}}$$

$\tan \frac{\theta}{2} = 2$ を代入して、

$$\cos \theta = \frac{1 - 2^2}{1 + 2^2} = -\frac{3}{5}$$

したがって、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ すなわち $\sin \theta = \tan \theta \cos \theta$ より、

$$\sin \theta = \left(-\frac{4}{3}\right) \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = \frac{4}{5}$$

解説

$t = \tan \frac{\theta}{2}$ とおいたとき、$\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$ をすべて $t$ の有理式で表すことができる。これは三角関数の積分（ワイエルシュトラス置換）などでもよく用いられる重要な式変形である。

• $\sin \theta = \frac{2t}{1+t^2}$
• $\cos \theta = \frac{1-t^2}{1+t^2}$
• $\tan \theta = \frac{2t}{1-t^2}$

これらは結果を丸暗記するだけでなく、解法に示したように2倍角の公式と $\sin^2 \frac{\theta}{2} + \cos^2 \frac{\theta}{2} = 1$ を用いて、その場ですばやく導出できるようにしておくことが望ましい。

答え

ア：$-\frac{4}{3}$

イ：$\frac{4}{5}$