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数学2 三角関数問題 72 解説

方針・初手

光の反射に関する問題では、光線の軌跡を反射面で折り返すのではなく、光線を直進させたまま「反射面の方を折り返して展開する」という鏡像法が極めて有効である。本問もこの手法を用いて、展開図上で図形的に処理する。

解法1

直線 $\ell$ と $x$ 軸の間の領域について、反射面を次々と折り返してできる展開図を考える。 $k$ 回目の反射面の展開図上での位置は、原点 $\text{O}$ を端点とする偏角 $k\theta$ の半直線として表される（$k=1$ で直線 $\ell$、$k=2$ で $x$ 軸、$k=3$ で直線 $\ell$、というように交互に現れる）。光線は $y$ 座標が $1$ の点を通り $x$ 軸の負の方向へ向かって進むため、展開図における光線の経路は、直線 $y=1$ を左方向に進む半直線となる。最初の入射点 $\text{P}_1$ は、この経路と直線 $\ell$（偏角 $\theta$ の半直線）との交点であるから、$\text{P}_1$ に対応する展開図上の点は $\left(\frac{1}{\tan \theta}, 1\right)$ である。

「$n$ 回目に反射した後、入射した経路を逆に進んだ」という条件は、光線が $n$ 回目の反射面に対して垂直に入射したことを意味する。展開図上では、経路である直線 $y=1$ が偏角 $n\theta$ の半直線と直交することと同値である。直線 $y=1$ に直交する原点を通る直線は $y$ 軸であるから、$n$ 回目の反射面は偏角 $90^\circ$ の半直線となる。すなわち、

$$n\theta = 90^\circ$$

が成り立つ。このとき、$\text{P}_n$ に対応する展開図上の点は、直線 $y=1$ と $y$ 軸の交点 $(0, 1)$ である。折り返し操作により原点からの距離は不変であるため、元の座標系においても $\text{OP}_n = 1$ が成り立つ。また、$0^\circ < \theta < 90^\circ$ であるから、$n$ は $n \ge 2$ を満たす整数である。

(1) $\theta = 30^\circ$ のとき、$n = \frac{90^\circ}{30^\circ} = 3$ である。 $n=3$（奇数）のとき、3回目の反射は直線 $\ell$ 上で起こるため、$\text{P}_3$ は直線 $\ell$ 上の点である。 $\text{OP}_3 = 1$ であり、直線 $\ell$ は偏角 $30^\circ$ であるから、$\text{P}_3$ の座標は

$$(\cos 30^\circ, \sin 30^\circ) = \left( \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2} \right)$$

となる。

(2) $n\theta = 90^\circ$ より、度数法で表された $\theta$ の値は

$$\theta = \frac{90}{n}$$

である。これが整数となるのは、$n$ が $90$ の正の約数となるときである。 $90$ を素因数分解すると $90 = 2 \times 3^2 \times 5$ であり、正の約数の個数は

$$(1+1)(2+1)(1+1) = 12 \text{ 個}$$

となる。ただし、$n \ge 2$ の整数であるため、$n=1$（$\theta = 90^\circ$ となり条件に反する）の1通りを除外する。よって、条件を満たす $\theta$ は全部で $12 - 1 = 11$ 個ある。

(3) $\text{P}_1$ から $\text{P}_n$ までの光の経路の長さは、展開図上における点 $\left(\frac{1}{\tan \theta}, 1\right)$ から点 $(0, 1)$ までの線分の長さに等しい。よって、求める長さは

$$\frac{1}{\tan \theta} - 0 = \frac{1}{\tan \theta}$$

となる。

解説

光の反射問題における定石である「鏡像法（展開図）」を用いると、光の経路が一直線になり、非常に見通しよく解くことができる。「入射した経路を逆に進む」という条件が「反射面に対して垂直に入射する」ことであると気付けば、展開図上で経路（$x$ 軸に平行）と反射面が直交することから $n\theta = 90^\circ$ が直ちに導かれる。