数学2 三角関数 問題 73 解説

方針・初手

与えられた2つの等式を辺々足し引きし、$\sin x + \cos y$ と $\cos x + \sin y$ の形を作る。その後、それぞれの式の両辺を2乗して加えることで、加法定理に基づく $\sin(x+y)$ の値が現れるように工夫する。(2) では条件から $x$ と $y$ の対称式を利用し、(3) では (1) の結果から $y$ を $x$ で表して代入することで方程式を解く。

解法1

(1)

与えられた連立方程式を次のように置く。

$$\sin x + \cos x + \sin y + \cos y = a \quad \cdots \text{①}$$

$$\sin x - \cos x - \sin y + \cos y = b \quad \cdots \text{②}$$

①と②の辺々を加えると

$$2\sin x + 2\cos y = a+b$$

$$\sin x + \cos y = \frac{a+b}{2} \quad \cdots \text{③}$$

①と②の辺々を引くと

$$2\cos x + 2\sin y = a-b$$

$$\cos x + \sin y = \frac{a-b}{2} \quad \cdots \text{④}$$

③と④の両辺をそれぞれ2乗して加えると

$$(\sin x + \cos y)^2 + (\cos x + \sin y)^2 = \left( \frac{a+b}{2} \right)^2 + \left( \frac{a-b}{2} \right)^2$$

左辺を展開して整理すると

$$(\sin^2 x + 2\sin x \cos y + \cos^2 y) + (\cos^2 x + 2\cos x \sin y + \sin^2 y)$$

$$= (\sin^2 x + \cos^2 x) + (\cos^2 y + \sin^2 y) + 2(\sin x \cos y + \cos x \sin y)$$

$$= 1 + 1 + 2\sin(x+y)$$

$$= 2 + 2\sin(x+y)$$

右辺を展開して計算すると

$$\frac{a^2 + 2ab + b^2}{4} + \frac{a^2 - 2ab + b^2}{4} = \frac{2a^2 + 2b^2}{4} = \frac{a^2+b^2}{2}$$

したがって

$$2 + 2\sin(x+y) = \frac{a^2+b^2}{2}$$

$$2\sin(x+y) = \frac{a^2+b^2-4}{2}$$

$$\sin(x+y) = \frac{a^2+b^2-4}{4}$$

(2)

$b=0$ のとき、③および④は次のようになる。

$$\sin x + \cos y = \frac{a}{2} \quad \cdots \text{⑤}$$

$$\cos x + \sin y = \frac{a}{2} \quad \cdots \text{⑥}$$

⑤から⑥を辺々引くと

$$\sin x - \cos x - \sin y + \cos y = 0$$

$$\sin x - \cos x = \sin y - \cos y \quad \cdots \text{⑦}$$

（これは元の式②に $b=0$ を代入したものと同じである。）

⑦の両辺を2乗すると

$$(\sin x - \cos x)^2 = (\sin y - \cos y)^2$$

$$1 - 2\sin x \cos x = 1 - 2\sin y \cos y$$

$$\sin 2x = \sin 2y$$

これを用いると、$(\sin x + \cos x)^2$ と $(\sin y + \cos y)^2$ は等しいことがわかる。

$$(\sin x + \cos x)^2 = 1 + \sin 2x$$

$$(\sin y + \cos y)^2 = 1 + \sin 2y$$

よって

$$(\sin x + \cos x)^2 = (\sin y + \cos y)^2$$

$$(\sin x + \cos x)^2 - (\sin y + \cos y)^2 = 0$$

$$\{(\sin x + \cos x) + (\sin y + \cos y)\}\{(\sin x + \cos x) - (\sin y + \cos y)\} = 0$$

ここで、元の式①より $(\sin x + \cos x) + (\sin y + \cos y) = a$ であり、条件より $a \neq 0$ であるため、

$$(\sin x + \cos x) - (\sin y + \cos y) = 0$$

$$\sin x + \cos x = \sin y + \cos y$$

となる。これを①に代入すると

$$(\sin x + \cos x) + (\sin x + \cos x) = a$$

$$2(\sin x + \cos x) = a$$

$$\sin x + \cos x = \frac{a}{2}$$

(3)

$a=0$、$b=2\sqrt{2}$ のとき、(1)の結果に代入すると

$$\sin(x+y) = \frac{0^2 + (2\sqrt{2})^2 - 4}{4} = \frac{8-4}{4} = 1$$

$0 \leqq x \leqq 2\pi$、$0 \leqq y \leqq 2\pi$ より $0 \leqq x+y \leqq 4\pi$ であるから

$$x+y = \frac{\pi}{2}, \frac{5}{2}\pi$$

また、③と④の式に $a=0$、$b=2\sqrt{2}$ を代入すると

$$\sin x + \cos y = \sqrt{2} \quad \cdots \text{⑧}$$

$$\cos x + \sin y = -\sqrt{2} \quad \cdots \text{⑨}$$

(i) $x+y = \frac{\pi}{2}$ のとき

$y = \frac{\pi}{2} - x$ であり、

$$\cos y = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x$$

$$\sin y = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x$$

となる。これらを⑧、⑨に代入すると

$$\sin x + \sin x = \sqrt{2} \implies \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$\cos x + \cos x = -\sqrt{2} \implies \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

$0 \leqq x \leqq 2\pi$ において、これを満たす $x$ は $x = \frac{3}{4}\pi$ である。

このとき $y = \frac{\pi}{2} - \frac{3}{4}\pi = -\frac{\pi}{4}$ となるが、これは $0 \leqq y \leqq 2\pi$ を満たさないため不適である。

(ii) $x+y = \frac{5}{2}\pi$ のとき

$y = \frac{5}{2}\pi - x$ であり、

$$\cos y = \cos\left(2\pi + \frac{\pi}{2} - x\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x$$

$$\sin y = \sin\left(2\pi + \frac{\pi}{2} - x\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x$$

となる。(i) と同様に⑧、⑨に代入すると

$$\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

これを満たす $x$ は $x = \frac{3}{4}\pi$ である。

このとき $y = \frac{5}{2}\pi - \frac{3}{4}\pi = \frac{7}{4}\pi$ となり、これは $0 \leqq y \leqq 2\pi$ を満たす。

以上より、解は $(x, y) = \left( \frac{3}{4}\pi, \frac{7}{4}\pi \right)$ である。

解説

複数の文字と三角関数が含まれる連立方程式の典型的な解法である。与えられた式を足し引きして形を整えることで、加法定理（特に $\sin(\alpha+\beta)$ の展開形）や基本的な関係式 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を適用できる形に持ち込むのが定石である。(2) では、因数分解を用いて条件から片方の因数を特定する論理展開が重要になる。

答え

(1) $\sin(x+y) = \frac{a^2+b^2-4}{4}$

(2) $\sin x + \cos x = \frac{a}{2}$

(3) $(x, y) = \left( \frac{3}{4}\pi, \frac{7}{4}\pi \right)$