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数学2 三角関数問題 74 解説

方針・初手

(1)は加法定理を用いて左辺を展開し、整理することで右辺を導く。 (2)は(1)の等式に指定された値を代入し、$f(k) - f(k-1)$ の形（階差の形）を作り出して辺々を加えることで、シグマの和を計算する。 (3)は半角の公式を用いて次数を下げ、$\cos 2k\theta$ の形を作り出すことで(2)の結果を利用する。

解法1

(1)

与えられた等式の左辺を加法定理を用いて展開する。

$$\begin{aligned} (\text{左辺}) &= (\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta)\sin\alpha - \cos\alpha(\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta) \\ &= \sin\alpha\cos\alpha\cos\beta - \sin^2\alpha\sin\beta - \sin\alpha\cos\alpha\cos\beta + \cos^2\alpha\sin\beta \\ &= \cos^2\alpha\sin\beta - \sin^2\alpha\sin\beta \\ &= (\cos^2\alpha - \sin^2\alpha)\sin\beta \\ &= \cos2\alpha\sin\beta \end{aligned}$$

これは右辺と一致する。したがって、等式は成り立つ。

(2)

(1)で示した等式に $\alpha=k\theta, \beta=\theta$ を代入すると、次の等式が得られる。

$$\cos(k\theta+\theta)\sin k\theta - \cos k\theta\sin(k\theta-\theta) = \cos2k\theta\sin\theta$$

すなわち、

$$\cos(k+1)\theta\sin k\theta - \cos k\theta\sin(k-1)\theta = \cos2k\theta\sin\theta$$

この等式について、$k=1, 2, \dots, n$ として辺々を加える。

$$\begin{aligned} \sum_{k=1}^n \cos2k\theta\sin\theta &= \sum_{k=1}^n \left\{ \cos(k+1)\theta\sin k\theta - \cos k\theta\sin(k-1)\theta \right\} \\ &= (\cos2\theta\sin\theta - \cos\theta\sin0) \\ &\quad + (\cos3\theta\sin2\theta - \cos2\theta\sin\theta) \\ &\quad + (\cos4\theta\sin3\theta - \cos3\theta\sin2\theta) \\ &\quad + \dots \\ &\quad + (\cos(n+1)\theta\sin n\theta - \cos n\theta\sin(n-1)\theta) \end{aligned}$$

途中の項が互いに打ち消し合い、最初と最後だけが残る。$\sin0 = 0$ であるから、

$$\sum_{k=1}^n \cos2k\theta\sin\theta = \cos(n+1)\theta\sin n\theta$$

となる。条件より $\sin\theta \neq 0$ であるため、両辺を $\sin\theta$ で割ると、

$$\sum_{k=1}^n \cos2k\theta = \frac{\cos(n+1)\theta\sin n\theta}{\sin\theta}$$

が成り立ち、示された。

(3)

半角の公式 $\cos^2 x = \frac{1+\cos2x}{2}$ を用いて与式を変形する。

$$\begin{aligned} \sum_{k=1}^{100} \cos^2 \frac{k\pi}{100} &= \sum_{k=1}^{100} \frac{1 + \cos \frac{2k\pi}{100}}{2} \\ &= \sum_{k=1}^{100} \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{100} \cos 2k\left(\frac{\pi}{100}\right) \\ &= \frac{1}{2} \cdot 100 + \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{100} \cos 2k\left(\frac{\pi}{100}\right) \\ &= 50 + \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{100} \cos 2k\left(\frac{\pi}{100}\right) \end{aligned}$$

ここで、(2)の等式において $n=100, \theta=\frac{\pi}{100}$ とすると、$\sin\frac{\pi}{100} \neq 0$ を満たすため等式を適用できる。

$$\begin{aligned} \sum_{k=1}^{100} \cos 2k\left(\frac{\pi}{100}\right) &= \frac{\cos\left(101 \cdot \frac{\pi}{100}\right) \sin\left(100 \cdot \frac{\pi}{100}\right)}{\sin\frac{\pi}{100}} \\ &= \frac{\cos\frac{101\pi}{100} \sin\pi}{\sin\frac{\pi}{100}} \end{aligned}$$

$\sin\pi = 0$ であるから、この和の値は $0$ となる。したがって、求める値は以下の通りである。

$$50 + \frac{1}{2} \cdot 0 = 50$$

解法2

(3)の別解

(2)の誘導を用いず、三角関数の性質を利用してペアを作ることで和を求めることもできる。

$k=1, 2, \dots, 49$ に対して、

$$\cos^2 \frac{(50-k)\pi}{100} = \cos^2 \left(\frac{\pi}{2} - \frac{k\pi}{100}\right) = \sin^2 \frac{k\pi}{100}$$

が成り立つ。よって、$k$ と $50-k$ の項の和をとると、

$$\cos^2 \frac{k\pi}{100} + \cos^2 \frac{(50-k)\pi}{100} = \cos^2 \frac{k\pi}{100} + \sin^2 \frac{k\pi}{100} = 1$$

となる。これより、$k=1$ から $49$ までの和は、

$$\begin{aligned} \sum_{k=1}^{49} \cos^2 \frac{k\pi}{100} &= \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{49} \left\{ \cos^2 \frac{k\pi}{100} + \cos^2 \frac{(50-k)\pi}{100} \right\} \\ &= \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{49} 1 \\ &= \frac{49}{2} \end{aligned}$$

と計算できる。

次に、$k=51, 52, \dots, 99$ について考える。

$$\cos^2 \frac{k\pi}{100} = \cos^2 \left(\pi - \frac{(100-k)\pi}{100}\right) = \left\{-\cos \frac{(100-k)\pi}{100}\right\}^2 = \cos^2 \frac{(100-k)\pi}{100}$$

が成り立つので、$k'=100-k$ と置き換えると、

$$\sum_{k=51}^{99} \cos^2 \frac{k\pi}{100} = \sum_{k'=1}^{49} \cos^2 \frac{k'\pi}{100} = \frac{49}{2}$$

となる。

残った $k=50$ と $k=100$ の項は、それぞれ、

$$\begin{aligned} \cos^2 \frac{50\pi}{100} &= \cos^2 \frac{\pi}{2} = 0 \\ \cos^2 \frac{100\pi}{100} &= \cos^2 \pi = 1 \end{aligned}$$

である。以上をすべて足し合わせると、全体の和は、

$$\begin{aligned} \sum_{k=1}^{100} \cos^2 \frac{k\pi}{100} &= \sum_{k=1}^{49} \cos^2 \frac{k\pi}{100} + \cos^2 \frac{50\pi}{100} + \sum_{k=51}^{99} \cos^2 \frac{k\pi}{100} + \cos^2 \frac{100\pi}{100} \\ &= \frac{49}{2} + 0 + \frac{49}{2} + 1 \\ &= 50 \end{aligned}$$

となり、同じ答えが得られる。

解説

三角関数の数列の和に関する典型的な問題である。(2)のように、数列の各項を $f(k) - f(k-1)$ という「階差の形」で表現することで、途中の項がすべて打ち消し合って和が求まるという手法は、大学入試において非常に頻出である。(3)については、そのまま(2)の誘導に乗るために半角の公式を用いて $\cos 2k\theta$ の形を作り出すのが自然な発想である。解法2で示したような対称性を利用するペア作りの手法も、図形的な意味付けや直感を養う上で有用な考え方である。