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数学2 三角関数問題 75 解説

方針・初手

円外の点から円に引いた2本の接線の長さは等しいことを利用し、三角形の各辺の長さと接線の一部の長さを関係づけることが基本となる。図形的な性質から各角の大きさを把握し、面積 $S$ についてはヘロンの公式の導出過程をなぞって証明を進める。最後の最大値問題は、条件から「定数となるもの」と「変数となるもの」を区別し、相加平均と相乗平均の大小関係または二次関数を利用して最大値を求める。

解法1

(1)

円外の点から円に引いた2本の接線の長さは等しいから、以下の等式が成り立つ。

$$AR = AQ, \quad BP = BR, \quad CP = CQ$$

辺の長さについて $BC = a, CA = b, AB = c$ であるから、次のように表せる。

$$\begin{aligned} a &= BC = BP + CP = BP + CQ \\ b &= CA = CQ + AQ = CQ + AR \\ c &= AB = AR + BR = AR + BP \end{aligned}$$

これらを辺々足し合わせると、以下のようになる。

$$a + b + c = 2(BP + CQ + AR)$$

問題の条件より $a + b + c = 2s$ であるから、代入して整理する。

$$2s = 2(BP + CQ + AR)$$

よって、$BP + CQ + AR = s$ が成り立つ。

(2)

(1) で示した $BP + CQ + AR = s$ において、$CQ = CP$ であるから、$BP + CP + AR = s$ となる。

図より $BP + CP = BC = a$ であるため、代入する。

$$a + AR = s$$

したがって、$AR = s - a$ となる。

また、点 $\text{I}$ は内接円の中心であるから、内接円と辺 $AB$ との接点 $R$ において $IR \perp AB$ が成り立つ。すなわち $\triangle \text{AIR}$ は $\angle \text{IRA} = 90^\circ$ の直角三角形である。

$IR$ は内接円の半径であるから $IR = r$ である。直角三角形 $\triangle \text{AIR}$ において、以下の式が成り立つ。

$$\tan \alpha = \frac{AR}{IR} = \frac{s - a}{r}$$

(3)

内接円の中心 $\text{I}$ から各辺に下ろした垂線の長さは半径 $r$ に等しいため、$IR = IQ = IP = r$ である。

$\triangle \text{AIR}$ と $\triangle \text{AIQ}$ において、$\angle \text{IRA} = \angle \text{IQA} = 90^\circ$ であり、斜辺 $AI$ は共通、$IR = IQ = r$ であるから、直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい。

したがって、$\triangle \text{AIR} \equiv \triangle \text{AIQ}$ であり、$\angle \text{AIR} = \angle \text{AIQ} = \alpha$ が成り立つ。

同様にして、$\triangle \text{BIR} \equiv \triangle \text{BIP}$ より $\angle \text{BIR} = \angle \text{BIP} = \beta$、$\triangle \text{CIQ} \equiv \triangle \text{CIP}$ より $\angle \text{CIQ} = \angle \text{CIP} = \gamma$ である。

点 $\text{I}$ の周りの角の和は $360^\circ$ であるから、以下の式が成り立つ。

$$2\alpha + 2\beta + 2\gamma = 360^\circ$$

両辺を $2$ で割ると、$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$ となる。よって、$\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta)$ と表せる。

ここで、$\alpha, \beta, \gamma$ は直角三角形の鋭角であるから $0^\circ < \alpha, \beta, \gamma < 90^\circ$ であり、$\alpha + \beta = 180^\circ - \gamma > 90^\circ$ である。したがって $\alpha + \beta \neq 90^\circ$ であり $\tan(\alpha + \beta)$ は存在する。

$$\tan \gamma = \tan(180^\circ - (\alpha + \beta)) = -\tan(\alpha + \beta)$$

加法定理を用いて右辺を展開する。

$$\tan \gamma = -\frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$$

両辺に $1 - \tan \alpha \tan \beta$ を掛ける。

$$\tan \gamma (1 - \tan \alpha \tan \beta) = -(\tan \alpha + \tan \beta)$$

これを展開して整理する。

$$\tan \gamma - \tan \alpha \tan \beta \tan \gamma = -\tan \alpha - \tan \beta$$

よって、$\tan \alpha + \tan \beta + \tan \gamma = \tan \alpha \tan \beta \tan \gamma$ が成り立つ。

(4)

$\triangle \text{ABC}$ の面積 $S$ は、$\triangle \text{IBC}$、$\triangle \text{ICA}$、$\triangle \text{IAB}$ の面積の和であるから、次のように表せる。

$$S = \frac{1}{2}ar + \frac{1}{2}br + \frac{1}{2}cr = \frac{1}{2}r(a + b + c)$$

$a + b + c = 2s$ より、代入すると $S = \frac{1}{2}r \cdot 2s = rs$ が成り立つ。

一方、(2) と同様に考えると、直角三角形 $\triangle \text{BIR}$ において、$BR = BP = s - (AR + CQ) = s - (AR + AQ) = s - b$ であるから、以下のようになる。

$$\tan \beta = \frac{BR}{IR} = \frac{s - b}{r}$$

同様に、直角三角形 $\triangle \text{CIQ}$ において、$CQ = s - (AR + BP) = s - (AR + BR) = s - c$ であるから、以下のようになる。

$$\tan \gamma = \frac{CQ}{IQ} = \frac{s - c}{r}$$

これらと (2) の結果を (3) の関係式に代入する。

$$\frac{s - a}{r} + \frac{s - b}{r} + \frac{s - c}{r} = \frac{s - a}{r} \cdot \frac{s - b}{r} \cdot \frac{s - c}{r}$$

左辺を整理する。

$$\frac{3s - (a + b + c)}{r} = \frac{3s - 2s}{r} = \frac{s}{r}$$

したがって、以下の等式が得られる。

$$\frac{s}{r} = \frac{(s - a)(s - b)(s - c)}{r^3}$$

両辺に $r^3$ を掛ける。

$$r^2 s = (s - a)(s - b)(s - c)$$

両辺にさらに $s$ を掛ける。

$$r^2 s^2 = s(s - a)(s - b)(s - c)$$

先ほど示した $S = rs$ より $S^2 = r^2 s^2$ であるから、代入する。

$$S^2 = s(s - a)(s - b)(s - c)$$

$S > 0$ であるから、平方根をとって以下のようになる。

$$S = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$$

以上より、$S = rs = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$ となることが証明された。

(5)

(4) の結果より $S = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$ である。

$BC = a$ (一定) であり、$b + c = k$ ($k$ は一定) とおくと、$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{a + k}{2}$ となり、$s$ は一定の値をとる。

$s$ および $a$ が一定であるから、$S$ が最大になるのは $(s - b)(s - c)$ が最大のときである。

これを展開すると、以下のようになる。

$$(s - b)(s - c) = s^2 - (b + c)s + bc$$

ここで $s$ と $b + c$ は一定の定数であるから、$bc$ が最大のとき $(s - b)(s - c)$ は最大となり、面積 $S$ も最大になる。

$b > 0, c > 0$ であり $b + c = k$ (一定) であるとき、相加平均と相乗平均の大小関係より以下の不等式が成り立つ。

$$\frac{b + c}{2} \geqq \sqrt{bc}$$

両辺とも正であるため、2乗して整理する。

$$bc \leqq \left(\frac{b + c}{2}\right)^2$$

等号が成立するのは $b = c$ のときである。

したがって、$b = c$ のとき $bc$ は最大となり、面積 $S$ も最大になる。$b = c$ は $CA = AB$ を意味するため、求める図形は二等辺三角形である。

解説

内接円の性質や接線の長さの基本性質を利用して、ヘロンの公式を幾何学的に導出する問題である。(3) の正接の恒等式は $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$ のときに成り立つ有名な関係式であり、(4) においてこの恒等式を利用することで、面積を辺の長さだけで表す式へ鮮やかに変形できる。最後の設問は、ヘロンの公式に含まれる変数のうち「何が定数で何が変数か」を見極め、積の最大値を相加平均と相乗平均の大小関係を利用して求めるという、典型かつ重要な論法を用いている。