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数学2 三角関数問題 76 解説

方針・初手

三角関数の加法定理を用いて、多項式 $A_n(t)$, $B_n(t)$ の漸化式を導出する。

(1)は3倍角の公式を直接導くことで求められる。

(2)は $\cos(n+1)x = \cos(nx+x)$ などの加法定理を展開し、与えられた定義式を代入して整理する。

(3)は(2)で得られた漸化式に $t=1$ を代入し、数列の漸化式として解く。

解法1

(1)

$\cos 3x$ と $\sin 3x$ に加法定理を適用して変形する。

$$\begin{aligned} \cos 3x &= \cos(2x+x) \\ &= \cos 2x \cos x - \sin 2x \sin x \\ &= (2\cos^2 x - 1)\cos x - (2\sin x \cos x)\sin x \\ &= 2\cos^3 x - \cos x - 2\sin^2 x \cos x \\ &= 2\cos^3 x - \cos x - 2(1-\cos^2 x)\cos x \\ &= 4\cos^3 x - 3\cos x \end{aligned}$$

定義より $\cos 3x = A_3(\cos x)$ であるため、$\cos x = t$ と置き換えると以下のようになる。

$$A_3(t) = 4t^3 - 3t$$

同様に $\sin 3x$ を変形する。

$$\begin{aligned} \sin 3x &= \sin(2x+x) \\ &= \sin 2x \cos x + \cos 2x \sin x \\ &= (2\sin x \cos x)\cos x + (2\cos^2 x - 1)\sin x \\ &= 2\sin x \cos^2 x + \sin x(2\cos^2 x - 1) \\ &= \sin x (2\cos^2 x + 2\cos^2 x - 1) \\ &= \sin x (4\cos^2 x - 1) \end{aligned}$$

定義より $\sin 3x = \sin x \cdot B_3(\cos x)$ であるため、$\cos x = t$ と置き換えると以下のようになる。

$$B_3(t) = 4t^2 - 1$$

(2)

$\cos(n+1)x$ と $\sin(n+1)x$ について加法定理を適用する。

$$\begin{aligned} \cos(n+1)x &= \cos(nx+x) \\ &= \cos nx \cos x - \sin nx \sin x \end{aligned}$$

ここで、与えられた定義 $\cos nx = A_n(\cos x)$ と $\sin nx = \sin x \cdot B_n(\cos x)$ を代入する。

$$\begin{aligned} \cos(n+1)x &= A_n(\cos x)\cos x - \sin x \cdot B_n(\cos x) \sin x \\ &= \cos x \cdot A_n(\cos x) - \sin^2 x \cdot B_n(\cos x) \\ &= \cos x \cdot A_n(\cos x) - (1-\cos^2 x)B_n(\cos x) \end{aligned}$$

これが $A_{n+1}(\cos x)$ に等しいため、$\cos x = t$ と置き換えると以下の漸化式が得られる。

$$A_{n+1}(t) = t A_n(t) + (t^2-1)B_n(t)$$

よって、(ウ)は $t$、(エ)は $t^2-1$ である。

同様に $\sin(n+1)x$ を変形する。

$$\begin{aligned} \sin(n+1)x &= \sin(nx+x) \\ &= \sin nx \cos x + \cos nx \sin x \end{aligned}$$

定義式を代入する。

$$\begin{aligned} \sin(n+1)x &= (\sin x \cdot B_n(\cos x))\cos x + A_n(\cos x)\sin x \\ &= \sin x (B_n(\cos x)\cos x + A_n(\cos x)) \\ &= \sin x (A_n(\cos x) + \cos x \cdot B_n(\cos x)) \end{aligned}$$

これが $\sin x \cdot B_{n+1}(\cos x)$ に等しいため、$\cos x = t$ と置き換えると以下の漸化式が得られる。

$$B_{n+1}(t) = A_n(t) + t B_n(t)$$

よって、(オ)は $t$ である。

(3)

(2)で求めた漸化式に $t=1$ を代入する。

$$A_{n+1}(1) = 1 \cdot A_n(1) + (1^2-1)B_n(1) = A_n(1)$$

$$B_{n+1}(1) = A_n(1) + 1 \cdot B_n(1) = A_n(1) + B_n(1)$$

また、初期条件より $A_1(1) = 1$、$B_1(1) = 1$ である。

$A_{n+1}(1) = A_n(1)$ より、数列 $\{A_n(1)\}$ は定数数列である。

$$A_n(1) = A_1(1) = 1$$

これを $B_{n+1}(1)$ の式に代入する。

$$B_{n+1}(1) = 1 + B_n(1)$$

$$B_{n+1}(1) - B_n(1) = 1$$

数列 $\{B_n(1)\}$ は初項 $B_1(1) = 1$、公差 $1$ の等差数列であるから、一般項は以下のようになる。

$$B_n(1) = 1 + (n-1) \cdot 1 = n$$

解説

チェビシェフ多項式に関連する典型的な問題である。

三角関数の倍角・3倍角の公式は、加法定理から導出できることを確認しておくことが重要である。

多項式の漸化式を導く過程では、$t$ と置く前の $\cos x$ と $\sin x$ の関係（$\sin^2 x = 1-\cos^2 x$）を用いて、式全体を $\cos x$ だけの関数に帰着させるのがポイントである。

(3)において、$A_n(1)$ を求めるために $x=0$ を $\cos nx = A_n(\cos x)$ に代入して $\cos 0 = A_n(\cos 0)$ すなわち $1 = A_n(1)$ と導くことも可能であるが、$B_n(1)$ は $\sin 0 = \sin 0 \cdot B_n(\cos 0)$ となり $0=0$ になってしまうため、この方法だけでは行き詰まる。そのため、(2)で求めた漸化式を利用して数列として処理する方針が確実である。