数学2 三角関数 問題 78 解説

方針・初手

与えられた方程式の構造に着目する。方程式の左辺と右辺が同じ形（$x^3+x$ の形）をしていることから、関数 $f(x)=x^3+x$ を設定して関数の性質（単調性）を利用するか、あるいは項をまとめて因数分解を行うことで条件を簡略化するのが定石である。また、除外条件 $\sin \theta \neq \cos \theta$ を満たすかどうかの確認を忘れないようにする。

解法1

関数 $f(t)$ を以下のように定義する。

$$f(t) = t^3 + t$$

$t$ について微分すると、

$$f'(t) = 3t^2 + 1 > 0$$

となるため、関数 $f(t)$ は実数全体で単調に増加する関数である。 与えられた方程式 $|\sin^3 \theta| + |\sin \theta| = \cos^3 \theta + \cos \theta$ は、次のように書き直せる。

$$|\sin \theta|^3 + |\sin \theta| = \cos^3 \theta + \cos \theta$$

$$f(|\sin \theta|) = f(\cos \theta)$$

関数 $f(t)$ が単調増加であることから、次が成り立つ。

$$|\sin \theta| = \cos \theta \quad \cdots \text{①}$$

左辺は絶対値であり $|\sin \theta| \geqq 0$ であるため、右辺も $\cos \theta \geqq 0$ でなければならない。 ①の両辺を2乗すると、

$$\sin^2 \theta = \cos^2 \theta$$

$1 - \cos^2 \theta = \cos^2 \theta$ より、

$$\cos^2 \theta = \frac{1}{2}$$

$\cos \theta \geqq 0$ であるから、

$$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

$0 \leqq \theta < 2\pi$ の範囲でこれを解くと、$\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$ である。

ここで、問題の条件である $\sin \theta \neq \cos \theta$ を確認する。 $\theta = \frac{\pi}{4}$ のとき、$\sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$、$\cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ となり、$\sin \theta = \cos \theta$ となるため不適である。 $\theta = \frac{7\pi}{4}$ のとき、$\sin \frac{7\pi}{4} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$、$\cos \frac{7\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ となり、$\sin \theta \neq \cos \theta$ を満たす。

したがって、求める $\theta$ の値は $\frac{7\pi}{4}$ である。

解法2

与えられた方程式を移項して整理する。

$$|\sin \theta|^3 - \cos^3 \theta + |\sin \theta| - \cos \theta = 0$$

$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ の因数分解公式を用いて変形する。

$$(|\sin \theta| - \cos \theta)(|\sin \theta|^2 + |\sin \theta|\cos \theta + \cos^2 \theta) + (|\sin \theta| - \cos \theta) = 0$$

共通因数 $(|\sin \theta| - \cos \theta)$ でくくると、

$$(|\sin \theta| - \cos \theta)(|\sin \theta|^2 + |\sin \theta|\cos \theta + \cos^2 \theta + 1) = 0 \quad \cdots \text{②}$$

ここで、2つ目の括弧の中身について平方完成を行うと、

$$\begin{aligned} & |\sin \theta|^2 + |\sin \theta|\cos \theta + \cos^2 \theta + 1 \\ &= \left( |\sin \theta| + \frac{1}{2}\cos \theta \right)^2 - \frac{1}{4}\cos^2 \theta + \cos^2 \theta + 1 \\ &= \left( |\sin \theta| + \frac{1}{2}\cos \theta \right)^2 + \frac{3}{4}\cos^2 \theta + 1 \end{aligned}$$

実数の2乗は0以上であるから、この式の値は常に $1$ 以上であり、正である。 したがって、②の等式が成り立つためには、次を満たす必要がある。

$$|\sin \theta| - \cos \theta = 0$$

すなわち、

$$|\sin \theta| = \cos \theta$$

これ以降は解法1と同様にして、$\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$ を得た後、$\sin \theta \neq \cos \theta$ の条件から適するものを絞り込めばよい。

解説

式を観察して $f(x)=x^3+x$ のような関数の単調性を利用する解法は、難関大でしばしば見られるテクニックである。この見方ができれば、因数分解の計算を省略して直ちに中身の比較へ持ち込むことができる。

また、方程式を解く過程で $\cos \theta \geqq 0$ の条件が自然に現れる点や、最後に問題文で指定された $\sin \theta \neq \cos \theta$ を用いて不適な解を除外する点など、条件の吟味が正答に直結する。細かい条件の見落としがないか常に注意を払う必要がある。

答え

$\frac{7\pi}{4}$