数学2 三角関数 問題 79 解説

方針・初手

三角関数の合成公式を用いて、$\sin x + \sqrt{3} \cos x$ を $r \sin(x+\alpha)$ の形に変形する。その後、合成した形を用いて与えられた方程式を解く。方程式を解く際は、変数 $x$ の定義域に注意して $x+\alpha$ の取り得る範囲を確認する。

解法1

関数 $\sin x + \sqrt{3} \cos x$ を合成する。 座標平面上に点 $(1, \sqrt{3})$ をとると、原点との距離 $r$ は、

$$r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2$$

また、偏角 $\alpha$ は、$0 \leqq \alpha < 2\pi$ において、

$$\cos \alpha = \frac{1}{2}, \quad \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

を満たすため、$\alpha = \frac{\pi}{3}$ である。 したがって、

$$\sin x + \sqrt{3} \cos x = 2 \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$$

となる。これより、$r = 2$、$\alpha = \frac{\pi}{3}$ である。

次に、方程式 $\sin x + \sqrt{3} \cos x = 2$ を解く。 上で得られた合成の結果を用いると、方程式は次のように変形できる。

$$2 \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = 2$$

両辺を $2$ で割って、

$$\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = 1$$

ここで、$x$ の範囲は $0 < x < \frac{\pi}{2}$ であるから、$x + \frac{\pi}{3}$ の取り得る値の範囲は、各辺に $\frac{\pi}{3}$ を加えて、

$$\frac{\pi}{3} < x + \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3}$$

$$\frac{\pi}{3} < x + \frac{\pi}{3} < \frac{5}{6}\pi$$

となる。この範囲内で $\sin$ の値が $1$ となるのは、角が $\frac{\pi}{2}$ のときのみである。 よって、

$$x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$$

これを解いて、

$$x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6}$$

解説

三角関数の合成と、合成を用いた三角方程式の基本的な問題である。合成の手順を正確に行うことと、方程式を解く際に変数のとりうる範囲（ここでは $x + \frac{\pi}{3}$ の範囲）を正しく確認することが重要である。この範囲の確認を怠ると、解の吟味が不十分となり誤答の原因となる。

答え

オ: $2$

カ: $\frac{\pi}{3}$

キ: $\frac{\pi}{6}$