数学2 三角関数 問題 81 解説

方針・初手

三角関数の性質 $\cos(\pi - x) = -\cos x$ と、2倍角の公式 $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ を用いて、与えられた方程式を角 $x$ の三角関数のみで表す。その後、因数分解して積が $0$ になる形を作り、定義域 $-\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ に注意しながら解を求める。

解法1

与えられた方程式の左辺と右辺をそれぞれ変形すると、

$$\cos x (-\cos x) = 2 \sin x \cos x$$

となる。これを整理すると、

$$-\cos^2 x = 2 \sin x \cos x$$

$$\cos^2 x + 2 \sin x \cos x = 0$$

$$\cos x (\cos x + 2 \sin x) = 0$$

したがって、$\cos x = 0$ または $\cos x + 2 \sin x = 0$ である。

(i) $\cos x = 0$ のとき

定義域 $-\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ より、$x = \pm \frac{\pi}{2}$ である。 このとき、$\sin \left(\pm \frac{\pi}{2}\right) = \pm 1$ となる（複号同順）。

(ii) $\cos x + 2 \sin x = 0$ のとき

もし $\cos x = 0$ とすると、この等式から $\sin x = 0$ となり、三角関数の相互関係 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ を満たさない。よって $\cos x \neq 0$ である。 両辺を $\cos x$ で割ると、

$$1 + 2 \tan x = 0$$

$$\tan x = -\frac{1}{2}$$

定義域 $-\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ において $\tan x < 0$ となるのは $-\frac{\pi}{2} < x < 0$ の範囲であるから、このとき $\cos x > 0$ かつ $\sin x < 0$ である。 三角関数の相互関係 $1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$ より、

$$\frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$$

$$\cos^2 x = \frac{4}{5}$$

$\cos x > 0$ より、

$$\cos x = \frac{2}{\sqrt{5}}$$

である。このとき、$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ より、

$$\sin x = \tan x \cos x = \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = -\frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5}$$

となる。

(i), (ii) より、求める値は $\sin x = \pm 1, -\frac{\sqrt{5}}{5}$ である。

解法2

解法1と同様にして方程式を整理し、$\cos x = 0$ または $\cos x + 2 \sin x = 0$ を得る。

(i) $\cos x = 0$ のとき

解法1と同様に、$-\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ より $x = \pm \frac{\pi}{2}$ であり、$\sin x = \pm 1$ となる。

(ii) $\cos x + 2 \sin x = 0$ のとき

$$\cos x = -2 \sin x$$

と変形できる。これを三角関数の相互関係 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ に代入して、

$$\sin^2 x + (-2 \sin x)^2 = 1$$

$$\sin^2 x + 4 \sin^2 x = 1$$

$$5 \sin^2 x = 1$$

$$\sin^2 x = \frac{1}{5}$$

したがって、$\sin x = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$ である。 ここで、$\cos x = -2 \sin x$ より、$\cos x$ と $\sin x$ は異符号である。 定義域 $-\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ の範囲において $\cos x \geqq 0$ であり、$\cos x = 0$ のときは $\sin x = 0$ となり矛盾するため $\cos x > 0$ である。 よって、$\sin x$ は負でなければならないため、

$$\sin x = -\frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5}$$

となる。

(i), (ii) より、求める値は $\sin x = \pm 1, -\frac{\sqrt{5}}{5}$ である。

解説

三角関数を含む方程式を解く際の典型的な問題である。角を $x$ に統一し、方程式全体を因数分解して $\text{A} \cdot \text{B} = 0$ の形に持ち込むことが定石である。

この問題で受験生が陥りやすいミスは、$\cos^2 x + 2 \sin x \cos x = 0$ を得た後に、両辺を無意識に $\cos x$ で割ってしまい、$\cos x = 0$ になる解を失ってしまうことである。変数で割る際は、その変数が $0$ にならないことを確認するか、あるいは本問のように因数分解をして場合分けを行うのが安全かつ確実である。

また、相互関係から $\sin x$ の値を決定する際、与えられた定義域から $\cos x$ や $\tan x$ の符号を調べ、$\sin x$ の符号を正しく絞り込むプロセスも重要である。

答え

$\pm 1$

$-\frac{\sqrt{5}}{5}$