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数学2 三角関数問題 82 解説

方針・初手

2次同次式の形をした三角関数の最大値を求める問題である。$\sin x \cos x$ および $\cos^2 x$ は、2倍角の公式と半角の公式を用いることで、それぞれ角 $2x$ の三角関数の1次式に次数下げができる。その後、三角関数の合成を行って関数の最大値を求めるのが定石である。

解法1

2倍角の公式と半角の公式より、

$$\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$$

$$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$$

であるから、与えられた関数 $f(x)$ は次のように変形できる。

$$f(x) = \frac{1 + \cos 2x}{2} + \frac{1}{2} \sin 2x$$

$$f(x) = \frac{1}{2} ( \sin 2x + \cos 2x ) + \frac{1}{2}$$

括弧内について三角関数の合成を行うと、

$$f(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \left( 2x + \frac{\pi}{4} \right) + \frac{1}{2}$$

となる。

ここで、$x$ の変域は $0 \leqq x \leqq \pi$ であるから、$2x + \frac{\pi}{4}$ のとり得る値の範囲は、

$$\frac{\pi}{4} \leqq 2x + \frac{\pi}{4} \leqq 2\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{9\pi}{4}$$

となる。

この範囲において、$\sin \left( 2x + \frac{\pi}{4} \right)$ は、

$$2x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$$

のとき、すなわち、

$$2x = \frac{\pi}{4}$$

$$x = \frac{\pi}{8}$$

のとき、最大値 $1$ をとる。

したがって、$f(x)$ の最大値は、

$$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2} + 1}{2}$$

となる。

解法2

導関数を用いて増減を調べる。

与えられた関数 $f(x) = \cos^2 x + \sin x \cos x$ を $x$ で微分すると、

$$f'(x) = 2 \cos x ( -\sin x ) + \cos x \cdot \cos x + \sin x ( -\sin x )$$

$$f'(x) = -2 \sin x \cos x + \cos^2 x - \sin^2 x$$

2倍角の公式を用いて整理すると、

$$f'(x) = -\sin 2x + \cos 2x$$

となる。

$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求める。

$$-\sin 2x + \cos 2x = 0$$

$$\sin 2x = \cos 2x$$

$\cos 2x = 0$ と仮定すると $\sin 2x = 0$ となり $\sin^2 2x + \cos^2 2x = 1$ に矛盾するため、$\cos 2x \neq 0$ である。両辺を $\cos 2x$ で割ると、

$$\tan 2x = 1$$

$0 \leqq x \leqq \pi$ より $0 \leqq 2x \leqq 2\pi$ であるから、この範囲で方程式を解くと、

$$2x = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$$

$$x = \frac{\pi}{8}, \frac{5\pi}{8}$$

$f'(x)$ は三角関数の合成により $f'(x) = \sqrt{2} \cos \left( 2x + \frac{\pi}{4} \right)$ と変形できるため、増減表は以下のようになる。

$$\begin{array}{c|ccccccc} x & 0 & \cdots & \frac{\pi}{8} & \cdots & \frac{5\pi}{8} & \cdots & \pi \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline f(x) & & \nearrow & \text{極大} & \searrow & \text{極小} & \nearrow & \end{array}$$

よって、$f(x)$ は $x = \frac{\pi}{8}$ のとき最大値をとる。

最大値は、

$$f\left( \frac{\pi}{8} \right) = \cos^2 \frac{\pi}{8} + \sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8}$$

半角の公式と2倍角の公式を用いて計算すると、

$$f\left( \frac{\pi}{8} \right) = \frac{1 + \cos \frac{\pi}{4}}{2} + \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{4}$$

$$f\left( \frac{\pi}{8} \right) = \frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{2 + 2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2} + 1}{2}$$

となる。

解説

三角関数の2次の同次式（$\sin^2 x$、$\cos^2 x$、$\sin x \cos x$ を含む式）の最大・最小問題は頻出である。角を $2x$ に統一し、1次式に直してから合成するという手順は必ずマスターしておきたい。微分を用いても解くことは可能だが、計算量がやや多くなるため、解法1の手順を第一選択とするのが望ましい。