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数学2 三角関数問題 83 解説

方針・初手

前半は三角関数の加法定理や積和の公式を用いて式を変形し、$\sin 3x$ に関する等式を導く。その後、$x$ に具体的な値を代入して求める式を作る。後半は倍角の公式を用いて式の形を整え、両辺に $\sin\frac{\pi}{9}$ を掛けることで、連鎖的に倍角の公式を適用して値を求める。

解法1

$\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}+x\right)$ の変形について、加法定理を用いる。

$$\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}+x\right) = \left(\sin\frac{\pi}{3}\cos x - \cos\frac{\pi}{3}\sin x\right)\left(\sin\frac{\pi}{3}\cos x + \cos\frac{\pi}{3}\sin x\right)$$

$$= \sin^2\frac{\pi}{3}\cos^2 x - \cos^2\frac{\pi}{3}\sin^2 x$$

$$= \frac{3}{4}\cos^2 x - \frac{1}{4}\sin^2 x$$

半角の公式を用いて次数を下げると

$$= \frac{3}{4} \cdot \frac{1+\cos 2x}{2} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1-\cos 2x}{2}$$

$$= \frac{3+3\cos 2x - 1 + \cos 2x}{8}$$

$$= \frac{2+4\cos 2x}{8}$$

$$= \frac{1}{2}\left( \cos 2x + \frac{1}{2} \right)$$

したがって、①は 2、②は $\frac{1}{2}$ である。

次に、$\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\sin x\sin\left(\frac{\pi}{3}+x\right)$ の変形を行う。上の結果を用いて

$$\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\sin x\sin\left(\frac{\pi}{3}+x\right) = \frac{1}{2}\left( \cos 2x + \frac{1}{2} \right)\sin x$$

$$= \frac{1}{2}\sin x\cos 2x + \frac{1}{4}\sin x$$

積和の公式より $\sin x\cos 2x = \frac{1}{2}\{ \sin(x+2x) + \sin(x-2x) \} = \frac{1}{2}(\sin 3x - \sin x)$ であるから

$$= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}(\sin 3x - \sin x) + \frac{1}{4}\sin x$$

$$= \frac{1}{4}\sin 3x - \frac{1}{4}\sin x + \frac{1}{4}\sin x$$

$$= \frac{1}{4}\sin 3x$$

したがって、③は $\frac{1}{4}$、④は 3 である。

ここで得られた等式 $\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\sin x\sin\left(\frac{\pi}{3}+x\right) = \frac{1}{4}\sin 3x$ において、$x = \frac{\pi}{9}$ を代入する。

$$\sin\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{9}\right)\sin\frac{\pi}{9}\sin\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{9}\right) = \frac{1}{4}\sin\left(3 \cdot \frac{\pi}{9}\right)$$

左辺の中を計算して整理すると $\sin\frac{2}{9}\pi\sin\frac{\pi}{9}\sin\frac{4}{9}\pi$ となり、順序を入れ替えることで求める式に一致する。

$$\sin\frac{\pi}{9}\sin\frac{2}{9}\pi\sin\frac{4}{9}\pi = \frac{1}{4}\sin\frac{\pi}{3} = \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{8}$$

したがって、⑤は $\frac{\sqrt{3}}{8}$ である。

後半の等式について、2倍角の公式より

$$\sin x\cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$$

したがって、⑥は $\frac{1}{2}$、⑦は 2 である。

求める値を $C = \cos\frac{\pi}{9}\cos\frac{2}{9}\pi\cos\frac{4}{9}\pi$ とおく。両辺に $\sin\frac{\pi}{9}$ を掛けると

$$C\sin\frac{\pi}{9} = \sin\frac{\pi}{9}\cos\frac{\pi}{9}\cos\frac{2}{9}\pi\cos\frac{4}{9}\pi$$

$\sin\frac{\pi}{9}\cos\frac{\pi}{9} = \frac{1}{2}\sin\frac{2}{9}\pi$ であるから

$$= \frac{1}{2}\sin\frac{2}{9}\pi\cos\frac{2}{9}\pi\cos\frac{4}{9}\pi$$

同様に $\sin\frac{2}{9}\pi\cos\frac{2}{9}\pi = \frac{1}{2}\sin\frac{4}{9}\pi$ を用いて

$$= \frac{1}{4}\sin\frac{4}{9}\pi\cos\frac{4}{9}\pi$$

さらに $\sin\frac{4}{9}\pi\cos\frac{4}{9}\pi = \frac{1}{2}\sin\frac{8}{9}\pi$ を用いて

$$= \frac{1}{8}\sin\frac{8}{9}\pi$$

ここで、$\sin\frac{8}{9}\pi = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{9}\right) = \sin\frac{\pi}{9}$ であるから

$$C\sin\frac{\pi}{9} = \frac{1}{8}\sin\frac{\pi}{9}$$

$\sin\frac{\pi}{9} \neq 0$ であるから、両辺を $\sin\frac{\pi}{9}$ で割って

$$C = \frac{1}{8}$$

したがって、⑧は $\frac{1}{8}$ である。

解法2

後半の $\cos\frac{\pi}{9}\cos\frac{2}{9}\pi\cos\frac{4}{9}\pi$ の値について、直前の誘導を用いずに積和の公式を繰り返し用いる別解を示す。

$$\cos\frac{\pi}{9}\cos\frac{2}{9}\pi\cos\frac{4}{9}\pi = \frac{1}{2}\left\{ \cos\left(\frac{\pi}{9}+\frac{2}{9}\pi\right) + \cos\left(\frac{\pi}{9}-\frac{2}{9}\pi\right) \right\} \cos\frac{4}{9}\pi$$

$$= \frac{1}{2}\left( \cos\frac{\pi}{3} + \cos\frac{-\pi}{9} \right)\cos\frac{4}{9}\pi$$

$\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$、$\cos(-\theta) = \cos\theta$ より

$$= \frac{1}{2}\left( \frac{1}{2} + \cos\frac{\pi}{9} \right)\cos\frac{4}{9}\pi$$

$$= \frac{1}{4}\cos\frac{4}{9}\pi + \frac{1}{2}\cos\frac{\pi}{9}\cos\frac{4}{9}\pi$$

再び積和の公式を用いて

$$= \frac{1}{4}\cos\frac{4}{9}\pi + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\left\{ \cos\left(\frac{\pi}{9}+\frac{4}{9}\pi\right) + \cos\left(\frac{\pi}{9}-\frac{4}{9}\pi\right) \right\}$$

$$= \frac{1}{4}\cos\frac{4}{9}\pi + \frac{1}{4}\left( \cos\frac{5}{9}\pi + \cos\frac{-3}{9}\pi \right)$$

ここで、$\cos\frac{5}{9}\pi = \cos\left(\pi - \frac{4}{9}\pi\right) = -\cos\frac{4}{9}\pi$ であり、$\cos\frac{-3}{9}\pi = \cos\frac{-\pi}{3} = \frac{1}{2}$ であるから

$$= \frac{1}{4}\cos\frac{4}{9}\pi - \frac{1}{4}\cos\frac{4}{9}\pi + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}$$

$$= \frac{1}{8}$$

解説

三角関数の積を和の形に変形する操作や、3倍角の公式の導出過程に現れる有名事実を題材とした問題である。前半で証明した $\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\sin x\sin\left(\frac{\pi}{3}+x\right) = \frac{1}{4}\sin 3x$ という等式は、3倍角の公式 $\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$ を因数分解することでも得られる。後半の $\cos$ の積については、解法1のように両辺に $\sin$ を掛けて2倍角の公式を連鎖的に適用する手法が非常に強力であり、頻出のテクニックである。この発想は問題文中の $\sin x\cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$ という直前の誘導から自然に思いつくようになっている。