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数学2 三角関数問題 84 解説

方針・初手

シグマ記号内の $\cos(kx) \sin \frac{x}{2}$ に着目し、三角関数の積和の公式を用いて和や差の形に変形する。これにより、シグマ計算において隣り合う項が連鎖的に打ち消し合う形（階差の形）を作り出すことができる。

解法1

三角関数の積和の公式 $\sin\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)\}$ より、$\cos\alpha \sin\beta = \frac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta) - \sin(\alpha-\beta)\}$ である。

これを用いて、シグマ内の式を変形すると、以下のようになる。

$$\begin{aligned} \cos(kx) \sin \frac{x}{2} &= \frac{1}{2} \left\{ \sin\left(kx + \frac{x}{2}\right) - \sin\left(kx - \frac{x}{2}\right) \right\} \\ &= \frac{1}{2} \left\{ \sin\left(k + \frac{1}{2}\right)x - \sin\left(k - \frac{1}{2}\right)x \right\} \end{aligned}$$

この結果を用いて、与式の左辺のシグマ部分を計算する。

$$\begin{aligned} \sum_{k=1}^{n} \cos(kx) \sin \frac{x}{2} &= \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2} \left\{ \sin\left(k + \frac{1}{2}\right)x - \sin\left(k - \frac{1}{2}\right)x \right\} \\ &= \frac{1}{2} \left\{ \left( \sin\frac{3}{2}x - \sin\frac{1}{2}x \right) + \left( \sin\frac{5}{2}x - \sin\frac{3}{2}x \right) + \cdots + \left( \sin\left(n + \frac{1}{2}\right)x - \sin\left(n - \frac{1}{2}\right)x \right) \right\} \end{aligned}$$

途中の項が互いに打ち消し合い、最初と最後の項だけが残るため、以下のように求まる。

$$\sum_{k=1}^{n} \cos(kx) \sin \frac{x}{2} = \frac{1}{2} \left\{ \sin\left(n + \frac{1}{2}\right)x - \sin\frac{1}{2}x \right\}$$

これを元の等式の左辺に代入して整理する。

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} \sin \frac{x}{2} + \sum_{k=1}^{n} \cos(kx) \sin \frac{x}{2} &= \frac{1}{2} \sin \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \left\{ \sin\left(n + \frac{1}{2}\right)x - \sin\frac{1}{2}x \right\} \\ &= \frac{1}{2} \sin\left(n + \frac{1}{2}\right)x \end{aligned}$$

右辺は $\frac{1}{2} \sin( \text{ア} )$ であるため、カッコの中身を比較することで答えを得る。

解説

三角関数の和（$\sum \cos(kx)$ や $\sum \sin(kx)$）を計算する際の典型的な手法である。$\sin \frac{x}{2}$ が掛かっている形を見たら、積和の公式を用いて $f(k) - f(k-1)$ の形を作り出すことを連想したい。この変形により、シグマ計算において中間項が相殺され、容易に和を求めることができる。