数学2 三角関数 問題 85 解説

方針・初手

与えられた関数 $f(\theta)$ は、角が $2\theta$ に統一された $\sin$ と $\cos$ の一次式である。このような場合は、三角関数の合成を用いてサインのみの式にまとめるのが定石である。合成を行った後、与えられた $\theta$ の定義域から合成後の角のとりうる範囲を求め、その範囲における正弦関数（サイン）の最大値・最小値を調べる。

解法1

与えられた関数は以下のように変形できる。

$$f(\theta) = \sin 2\theta - \sqrt{3} \cos 2\theta$$

三角関数の合成の公式を用いて、これを変形する。

$$\begin{aligned} f(\theta) &= 2 \left( \sin 2\theta \cdot \frac{1}{2} - \cos 2\theta \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \\ &= 2 \left( \sin 2\theta \cos \frac{\pi}{3} - \cos 2\theta \sin \frac{\pi}{3} \right) \\ &= 2 \sin \left( 2\theta - \frac{\pi}{3} \right) \end{aligned}$$

次に、$\theta$ の定義域から、新しい角 $2\theta - \frac{\pi}{3}$ のとりうる範囲を求める。与えられた $\theta$ の範囲は以下の通りである。

$$\frac{\pi}{3} \leqq \theta \leqq \frac{7}{12}\pi$$

各辺を2倍する。

$$\frac{2}{3}\pi \leqq 2\theta \leqq \frac{7}{6}\pi$$

各辺から $\frac{\pi}{3}$ を引く。

$$\frac{2}{3}\pi - \frac{\pi}{3} \leqq 2\theta - \frac{\pi}{3} \leqq \frac{7}{6}\pi - \frac{\pi}{3}$$

$$\frac{\pi}{3} \leqq 2\theta - \frac{\pi}{3} \leqq \frac{5}{6}\pi$$

ここで、$x = 2\theta - \frac{\pi}{3}$ とおくと、$f(\theta) = 2 \sin x$ であり、$x$ の変域は $\frac{\pi}{3} \leqq x \leqq \frac{5}{6}\pi$ である。

この範囲において、関数 $y = \sin x$ の値の増減を考えると、 $x = \frac{\pi}{2}$ のとき、最大値 $\sin \frac{\pi}{2} = 1$ をとる。 $x = \frac{5}{6}\pi$ のとき、最小値 $\sin \frac{5}{6}\pi = \frac{1}{2}$ をとる。 （端点のもう一方である $x = \frac{\pi}{3}$ のときは $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ であり、$\frac{1}{2} < \frac{\sqrt{3}}{2} < 1$ であるため最小値にはならない。）

したがって、$f(\theta) = 2 \sin x$ のとりうる値の範囲は、

$$2 \times \frac{1}{2} \leqq f(\theta) \leqq 2 \times 1$$

$$1 \leqq f(\theta) \leqq 2$$

以上より、最大値は $2$、最小値は $1$ である。

解説

三角関数の最大・最小問題における基本となる問題である。角が揃っていて次数が1の $\sin$ と $\cos$ の和・差を見たら、まずは合成を考える。合成後の角の範囲を正しく求めることと、その範囲内で単位円などをイメージしてサインの最大値・最小値を見落としなく拾い上げることが重要である。特に、定義域の端点が必ずしも最大・最小を与えるわけではない（今回のように途中の $\frac{\pi}{2}$ で最大となる）点には注意が必要である。

答え

①：2

②：1