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数学2 三角関数問題 87 解説

方針・初手

(1)では、正接の3倍角の公式を用いて式を展開し、$\tan^2 \theta$ を $\cos^2 \theta$ で表して代入する。

(2)では、正接の加法定理を用いて式を展開し、(1)の計算結果との共通点を見出す。

(3)は、(1)と(2)の結果から導かれる恒等式を利用して、具体的な角度の値を求める。

解法1

(1)

正接の3倍角の公式より、

$$\tan 3\theta = \frac{3\tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3\tan^2\theta}$$

である。両辺を $\tan \theta$ で割ると（$0^\circ < \theta < 90^\circ$ より $\tan \theta \neq 0$）、

$$\frac{\tan 3\theta}{\tan \theta} = \frac{3 - \tan^2\theta}{1 - 3\tan^2\theta}$$

となる。ここで、相互関係 $1 + \tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta}$ より、

$$\tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta} - 1 = \frac{1}{d} - 1 = \frac{1-d}{d}$$

である。これを上の式に代入して整理すると、

$$\begin{aligned} \frac{\tan 3\theta}{\tan \theta} &= \frac{3 - \frac{1-d}{d}}{1 - 3 \cdot \frac{1-d}{d}} \\ &= \frac{3d - (1-d)}{d - 3(1-d)} \\ &= \frac{4d - 1}{4d - 3} \end{aligned}$$

となる。

(2)

正接の加法定理を用いると、

$$\begin{aligned} \tan(60^\circ + \theta) \cdot \tan(60^\circ - \theta) &= \frac{\tan 60^\circ + \tan \theta}{1 - \tan 60^\circ \tan \theta} \cdot \frac{\tan 60^\circ - \tan \theta}{1 + \tan 60^\circ \tan \theta} \\ &= \frac{\sqrt{3} + \tan \theta}{1 - \sqrt{3}\tan \theta} \cdot \frac{\sqrt{3} - \tan \theta}{1 + \sqrt{3}\tan \theta} \\ &= \frac{(\sqrt{3} + \tan \theta)(\sqrt{3} - \tan \theta)}{(1 - \sqrt{3}\tan \theta)(1 + \sqrt{3}\tan \theta)} \\ &= \frac{3 - \tan^2 \theta}{1 - 3\tan^2 \theta} \end{aligned}$$

となる。これは(1)の途中に現れた式と完全に一致する。したがって、(1)と同様の計算により、

$$\tan(60^\circ + \theta) \cdot \tan(60^\circ - \theta) = \frac{4d - 1}{4d - 3}$$

となる。

(3)

(1)と(2)の結果より、

$$\frac{\tan 3\theta}{\tan \theta} = \tan(60^\circ + \theta) \cdot \tan(60^\circ - \theta)$$

すなわち、

$$\tan 3\theta = \tan \theta \cdot \tan(60^\circ + \theta) \cdot \tan(60^\circ - \theta)$$

が成り立つ。ここで $\theta = 20^\circ$ とすると、

$$\tan 60^\circ = \tan 20^\circ \cdot \tan 80^\circ \cdot \tan 40^\circ$$

となる。$\tan 60^\circ = \sqrt{3}$ であるから、

$$\tan 20^\circ \cdot \tan 40^\circ \cdot \tan 80^\circ = \sqrt{3}$$

である。

解説

三角関数の有名問題であり、(1)、(2)の誘導に乗り(3)の値を求めるという流れである。

正接の3倍角の公式 $\tan 3\theta = \frac{3\tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3\tan^2\theta}$ は、正弦と余弦の3倍角の公式から導出できるが、暗記しておくと見通しが良くなる。

(3)の計算における $\tan \theta \cdot \tan(60^\circ - \theta) \cdot \tan(60^\circ + \theta) = \tan 3\theta$ は有用な恒等式として知られており、正弦や余弦についても同様の恒等式（$\sin \theta \sin(60^\circ - \theta) \sin(60^\circ + \theta) = \frac{1}{4}\sin 3\theta$ など）が存在する。