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数学2 三角関数問題 89 解説

方針・初手

三角形の内角の和が $\pi$ であることから、$C = \pi - (A+B)$ と表せる。$A$ が一定のとき、関数は $B$ のみの変数となる。 (1)と(3)は積和の公式、(2)は和積の公式を利用して、変数が含まれる部分を分離することで値の範囲を求めることができる。また、図形的な条件 $B>0$、$C>0$ から $B$ のとり得る値の範囲を正確に把握することが重要である。

解法1

(1)

$A+B+C = \pi$ であり、$A = \frac{\pi}{3}$ であるから、

$$B+C = \frac{2}{3}\pi$$

となる。また、$B>0, C>0$ より $C = \frac{2}{3}\pi - B > 0$ であるから、

$$0 < B < \frac{2}{3}\pi$$

である。

ここで、積和の公式を用いると、

$$\begin{aligned} \sin B \sin C &= -\frac{1}{2} \{ \cos(B+C) - \cos(B-C) \} \\ &= -\frac{1}{2} \left( \cos\frac{2}{3}\pi - \cos(B-C) \right) \\ &= -\frac{1}{2} \left( -\frac{1}{2} - \cos(B-C) \right) \\ &= \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\cos(B-C) \end{aligned}$$

となる。 $B-C = B - \left( \frac{2}{3}\pi - B \right) = 2B - \frac{2}{3}\pi$ であり、$0 < B < \frac{2}{3}\pi$ であるから、

$$-\frac{2}{3}\pi < B-C < \frac{2}{3}\pi$$

である。この範囲において $\cos(B-C)$ のとり得る値の範囲は、

$$-\frac{1}{2} < \cos(B-C) \leqq 1$$

である。各辺に $\frac{1}{2}$ を掛け、$\frac{1}{4}$ を加えると、

$$0 < \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\cos(B-C) \leqq \frac{3}{4}$$

したがって、$\sin B \sin C$ の値の範囲は、

$$0 < \sin B \sin C \leqq \frac{3}{4}$$

(2)

$A$ は三角形の内角であり一定であるから、$0 < A < \pi$ である。 $A+B+C = \pi$ より、

$$B+C = \pi - A$$

となる。$B>0, C>0$ より $C = \pi - A - B > 0$ であるから、

$$0 < B < \pi - A$$

である。

和積の公式を用いると、

$$\begin{aligned} \sin B + \sin C &= 2 \sin\frac{B+C}{2} \cos\frac{B-C}{2} \\ &= 2 \sin\frac{\pi - A}{2} \cos\frac{B-C}{2} \\ &= 2 \cos\frac{A}{2} \cos\frac{B-C}{2} \end{aligned}$$

となる。 $B-C = B - (\pi - A - B) = 2B - (\pi - A)$ であり、$0 < B < \pi - A$ であるから、

$$-(\pi - A) < B-C < \pi - A$$

すなわち、

$$-\frac{\pi - A}{2} < \frac{B-C}{2} < \frac{\pi - A}{2}$$

である。 $0 < A < \pi$ より $0 < \frac{\pi - A}{2} < \frac{\pi}{2}$ であるから、この範囲において $\cos\frac{B-C}{2}$ のとり得る値の範囲は、

$$\cos\frac{\pi - A}{2} < \cos\frac{B-C}{2} \leqq 1$$

となる。$\cos\frac{\pi - A}{2} = \cos\left( \frac{\pi}{2} - \frac{A}{2} \right) = \sin\frac{A}{2}$ であるから、

$$\sin\frac{A}{2} < \cos\frac{B-C}{2} \leqq 1$$

$0 < A < \pi$ より $\cos\frac{A}{2} > 0$ であるから、各辺に $2\cos\frac{A}{2}$ を掛けると、

$$2\sin\frac{A}{2}\cos\frac{A}{2} < 2\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B-C}{2} \leqq 2\cos\frac{A}{2}$$

倍角の公式 $\sin A = 2\sin\frac{A}{2}\cos\frac{A}{2}$ を用いて整理すると、

$$\sin A < \sin B + \sin C \leqq 2\cos\frac{A}{2}$$

(3)

(1) と同様に積和の公式を用いると、

$$\begin{aligned} \sin B \sin C &= -\frac{1}{2} \{ \cos(B+C) - \cos(B-C) \} \\ &= -\frac{1}{2} \cos(\pi - A) + \frac{1}{2} \cos(B-C) \\ &= \frac{1}{2} \cos A + \frac{1}{2} \cos(B-C) \end{aligned}$$

となる。 (2) と同様に、$-(\pi - A) < B-C < \pi - A$ である。 $0 < \pi - A < \pi$ であるから、この範囲において $\cos(B-C)$ のとり得る値の範囲は、

$$\cos(\pi - A) < \cos(B-C) \leqq 1$$

となる。$\cos(\pi - A) = -\cos A$ であるから、

$$-\cos A < \cos(B-C) \leqq 1$$

各辺に $\frac{1}{2}$ を掛け、$\frac{1}{2}\cos A$ を加えると、

$$0 < \frac{1}{2}\cos A + \frac{1}{2}\cos(B-C) \leqq \frac{1+\cos A}{2}$$

半角の公式より $\frac{1+\cos A}{2} = \cos^2\frac{A}{2}$ であるから、

$$0 < \sin B \sin C \leqq \cos^2\frac{A}{2}$$

解法2

(2)、(3) について、微分を用いて解くこともできる。

(2)

$f(B) = \sin B + \sin(\pi - A - B)$ とおく。$0 < B < \pi - A$ である。 $f(B)$ を $B$ で微分すると、

$$\begin{aligned} f'(B) &= \cos B - \cos(\pi - A - B) \\ &= \cos B + \cos(A+B) \\ &= 2 \cos\frac{A+2B}{2} \cos\frac{-A}{2} \\ &= 2 \cos\left( B + \frac{A}{2} \right) \cos\frac{A}{2} \end{aligned}$$

$0 < A < \pi$ より $\cos\frac{A}{2} > 0$ である。また、$0 < B < \pi - A$ より $\frac{A}{2} < B + \frac{A}{2} < \pi - \frac{A}{2}$ である。 $f'(B) = 0$ となるのは $B + \frac{A}{2} = \frac{\pi}{2}$、すなわち $B = \frac{\pi - A}{2}$ のときである。増減表を書くと、$B = \frac{\pi - A}{2}$ のとき極大かつ最大となる。その最大値は、

$$\begin{aligned} f\left( \frac{\pi - A}{2} \right) &= \sin\frac{\pi - A}{2} + \sin\frac{\pi - A}{2} \\ &= 2 \cos\frac{A}{2} \end{aligned}$$

また、$B \to +0$ および $B \to \pi - A$ のとき、$f(B) \to \sin(\pi - A) = \sin A$ となる。したがって、

$$\sin A < \sin B + \sin C \leqq 2\cos\frac{A}{2}$$

(3)

$g(B) = \sin B \sin(\pi - A - B)$ とおく。$0 < B < \pi - A$ である。 $g(B)$ を $B$ で微分すると、

$$\begin{aligned} g'(B) &= \cos B \sin(\pi - A - B) - \sin B \cos(\pi - A - B) \\ &= \sin \{ (\pi - A - B) - B \} \\ &= \sin(\pi - A - 2B) \\ &= \sin(A+2B) \end{aligned}$$

$0 < B < \pi - A$ より $A < A+2B < 2\pi - A$ である。 $g'(B) = 0$ となるのは $A+2B = \pi$、すなわち $B = \frac{\pi - A}{2}$ のときである。増減表を書くと、$B = \frac{\pi - A}{2}$ のとき極大かつ最大となる。その最大値は、

$$\begin{aligned} g\left( \frac{\pi - A}{2} \right) &= \sin\frac{\pi - A}{2} \sin\frac{\pi - A}{2} \\ &= \cos^2\frac{A}{2} \end{aligned}$$

また、$B \to +0$ および $B \to \pi - A$ のとき、$g(B) \to 0$ となる。したがって、

$$0 < \sin B \sin C \leqq \cos^2\frac{A}{2}$$

解説

三角関数の和と積の形を扱う典型問題である。和積の公式や積和の公式を用いることで、変数を一つの三角関数にまとめることができ、取り得る値の範囲を容易に求めることができる。微分法（解法2）を用いても鮮やかに解けるが、計算量としては公式を利用する解法1の方が少なくミスも起きにくい。図形の性質から $B$ の定義域を正しく設定することが重要であり、端点を含まないことに注意して不等式を立てる必要がある。