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数学2 三角関数問題 91 解説

方針・初手

(1) は、加法定理を用いて和積の公式を導出し、それを利用して三角方程式を解く問題である。与えられた等式を証明したのち、方程式 $\sin 3\theta - \sin 2\theta = 0$ に対してその公式を適用する。

(2) は、(1)(b) の結果と $\sin 3\theta = \sin 2\theta$ の関係を用いて、$\cos \theta$ についての方程式を導く。倍角の公式と3倍角の公式を用いる。

(3) は、積和の公式を用いて式を計算可能な形に変形する。(2) で求めた $\cos 36^\circ$ の値から、半角の公式や倍角の公式を用いて必要な三角比の値を算出し、代入する。

解法1

(1)

(a)

正弦の加法定理より、以下の2式が成り立つ。

$$\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$$

$$\sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$$

辺々を引くと、次の等式が得られる。

$$\sin(x+y) - \sin(x-y) = 2 \cos x \sin y$$

ここで、$x+y = \alpha$、$x-y = \beta$ とおくと、これらを $x, y$ について解くことで次が得られる。

$$x = \frac{\alpha+\beta}{2}, \quad y = \frac{\alpha-\beta}{2}$$

これらを上の等式に代入することで、求める等式が示される。

$$\sin\alpha - \sin\beta = 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2}$$

(b)

方程式 $\sin 2\theta = \sin 3\theta$ は、次のように変形できる。

$$\sin 3\theta - \sin 2\theta = 0$$

(1)(a) で証明した等式に $\alpha = 3\theta, \beta = 2\theta$ を代入すると、次の方程式を得る。

$$2 \cos\frac{5\theta}{2} \sin\frac{\theta}{2} = 0$$

条件 $0^\circ < \theta < 90^\circ$ より、角度の範囲は次のようになる。

$$0^\circ < \frac{\theta}{2} < 45^\circ, \quad 0^\circ < \frac{5\theta}{2} < 225^\circ$$

$0^\circ < \frac{\theta}{2} < 45^\circ$ においては $\sin\frac{\theta}{2} > 0$ であるから、等式が成り立つためには次を満たす必要がある。

$$\cos\frac{5\theta}{2} = 0$$

$0^\circ < \frac{5\theta}{2} < 225^\circ$ の範囲でこれを満たすのは $\frac{5\theta}{2} = 90^\circ$ のみである。よって、求める $\theta$ は次のようになる。

$$\theta = 36^\circ$$

(2)

(1)(b) の結果より、$\theta = 36^\circ$ に対して $\sin 3\theta = \sin 2\theta$ が成り立つ。

2倍角および3倍角の公式を用いると、次のように展開できる。

$$3\sin\theta - 4\sin^3\theta = 2\sin\theta\cos\theta$$

$0^\circ < \theta < 90^\circ$ より $\sin\theta \neq 0$ であるから、両辺を $\sin\theta$ で割ることができる。

$$3 - 4\sin^2\theta = 2\cos\theta$$

$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$ を代入して整理する。

$$3 - 4(1-\cos^2\theta) = 2\cos\theta$$

$$4\cos^2\theta - 2\cos\theta - 1 = 0$$

これを $\cos\theta$ についての2次方程式とみて解く。

$$\cos\theta = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot (-1)}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{4}$$

$0^\circ < \theta < 90^\circ$ より $\cos\theta > 0$ であるから、求める値は次のようになる。

$$\cos\theta = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$$

(3)

積和の公式を用いて、与式の $\sin 6^\circ \sin 66^\circ$ の部分を変形する。

$$\sin 6^\circ \sin 66^\circ = -\frac{1}{2}(\cos 72^\circ - \cos 60^\circ) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \cos 72^\circ \right)$$

ここで、倍角の公式を用いると、$\cos 72^\circ = \cos(2 \times 36^\circ) = 2\cos^2 36^\circ - 1$ と表せる。(2) の結果 $\cos 36^\circ = \frac{1+\sqrt{5}}{4}$ を代入する。

$$\cos 72^\circ = 2 \left( \frac{1+\sqrt{5}}{4} \right)^2 - 1 = 2 \cdot \frac{6+2\sqrt{5}}{16} - 1 = \frac{3+\sqrt{5}}{4} - 1 = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$$

これを先ほどの式に代入して計算する。

$$\sin 6^\circ \sin 66^\circ = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}-1}{4} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3-\sqrt{5}}{4} = \frac{3-\sqrt{5}}{8}$$

また、余角の性質から $\sin 54^\circ = \cos(90^\circ - 54^\circ) = \cos 36^\circ$ である。したがって、求める3つの三角比の積は次のようになる。

$$\sin 6^\circ \sin 54^\circ \sin 66^\circ = (\sin 6^\circ \sin 66^\circ) \cos 36^\circ = \frac{3-\sqrt{5}}{8} \cdot \frac{1+\sqrt{5}}{4}$$

分子を展開して整理する。

$$\frac{(3-\sqrt{5})(1+\sqrt{5})}{32} = \frac{3 + 3\sqrt{5} - \sqrt{5} - 5}{32} = \frac{2\sqrt{5} - 2}{32} = \frac{\sqrt{5}-1}{16}$$

解法2

(3) の別解

恒等式 $\sin x \sin(60^\circ-x) \sin(60^\circ+x) = \frac{1}{4}\sin 3x$ を利用して計算する。

まず、この等式を証明する。加法定理より、次のように展開できる。

$$\sin(60^\circ-x) \sin(60^\circ+x) = (\sin 60^\circ \cos x - \cos 60^\circ \sin x)(\sin 60^\circ \cos x + \cos 60^\circ \sin x)$$

$$= \sin^2 60^\circ \cos^2 x - \cos^2 60^\circ \sin^2 x$$

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ を代入する。

$$= \frac{3}{4}\cos^2 x - \frac{1}{4}\sin^2 x = \frac{3}{4}(1-\sin^2 x) - \frac{1}{4}\sin^2 x = \frac{3}{4} - \sin^2 x$$

両辺に $\sin x$ を掛けると、3倍角の公式が現れる。

$$\sin x \sin(60^\circ-x) \sin(60^\circ+x) = \sin x \left( \frac{3}{4} - \sin^2 x \right) = \frac{1}{4}(3\sin x - 4\sin^3 x) = \frac{1}{4}\sin 3x$$

与式において $x=6^\circ$ とすると、次のように計算できる。

$$\sin 6^\circ \sin 54^\circ \sin 66^\circ = \sin 6^\circ \sin(60^\circ-6^\circ) \sin(60^\circ+6^\circ) = \frac{1}{4}\sin(3 \times 6^\circ) = \frac{1}{4}\sin 18^\circ$$

ここで、余角の公式により $\sin 18^\circ = \cos 72^\circ$ であり、解法1と同様に $\cos 72^\circ = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ であるから、求める値は次のようになる。

$$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5}-1}{4} = \frac{\sqrt{5}-1}{16}$$

解説

$\theta = 18^\circ, 36^\circ, 72^\circ$ など、正五角形に関連する角度の三角比を求める典型的な問題である。これらの角度の三角比は、$\sin 2\theta = \sin 3\theta$ や $\cos 2\theta = -\cos 3\theta$ などの等式から方程式を作って求める手法が定石となっている。

(3) の積の計算は、積和の公式を用いて次数を下げ、知っている角度に帰着させるのが基本方針となる。また、解法2で示した公式 $\sin x \sin(60^\circ-x) \sin(60^\circ+x) = \frac{1}{4}\sin 3x$ は、知っていると特定の積の計算を大幅に短縮できる有用な関係式である。余弦や正接についても類似の公式が存在する。