数学2 三角関数 問題 92 解説

方針・初手

与えられた三角関数の和差を積に直す公式を用いて、方程式を積の形に変形して解く。 (1) は公式を直接適用し、一般角の形で $y$ を表す。 (2) と (3) は、(1) と同様の手法を用いたうえで、与えられた変域に注意して条件を満たす解を絞り込む。

解法1

(1)

与えられた方程式を変形すると $\sin y - \sin x = 0$ となる。 問題に与えられた公式を用いると、次のように変形できる。

$$2 \cos \frac{y+x}{2} \sin \frac{y-x}{2} = 0$$

これより、$\cos \frac{y+x}{2} = 0$ または $\sin \frac{y-x}{2} = 0$ である。 $k, l$ を任意の整数として、それぞれ解くと、

$$\frac{y+x}{2} = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies y+x = \pi + 2k\pi = (2k+1)\pi$$

$$\frac{y-x}{2} = l\pi \implies y-x = 2l\pi$$

したがって、整数 $n$ を用いて次のように表せる。

$$y = x + 2n\pi \quad \text{または} \quad y = -x + (2n+1)\pi$$

(2)

方程式 $\sin(3s+1) = \sin 2s$ は (1) と同じ形である。(1) の結果において $y = 3s+1, x = 2s$ とすればよい。整数 $n$ を用いて場合分けをする。

(i) $3s+1 = 2s + 2n\pi$ のとき

$$s = 2n\pi - 1$$

$0 \leqq s < 2\pi$ であるから、

$$0 \leqq 2n\pi - 1 < 2\pi$$

$$1 \leqq 2n\pi < 2\pi + 1$$

$$\frac{1}{2\pi} \leqq n < 1 + \frac{1}{2\pi}$$

これを満たす整数 $n$ は $n=1$ のみである。 このとき、$s = 2\pi - 1$ となる。

(ii) $3s+1 = -2s + (2n+1)\pi$ のとき

$$5s = (2n+1)\pi - 1$$

$$s = \frac{(2n+1)\pi - 1}{5}$$

$0 \leqq s < 2\pi$ であるから、

$$0 \leqq \frac{(2n+1)\pi - 1}{5} < 2\pi$$

$$0 \leqq (2n+1)\pi - 1 < 10\pi$$

$$1 \leqq (2n+1)\pi < 10\pi + 1$$

$$\frac{1}{\pi} \leqq 2n+1 < 10 + \frac{1}{\pi}$$

$$\frac{1}{\pi} - 1 \leqq 2n < 9 + \frac{1}{\pi}$$

$$\frac{1}{2\pi} - \frac{1}{2} \leqq n < \frac{9}{2} + \frac{1}{2\pi}$$

ここで、$\pi > 3$ より $\frac{1}{2\pi} < \frac{1}{6}$ であるから、不等式は概ね $-0.3 \cdots \leqq n < 4.6 \cdots$ となる。 これを満たす整数 $n$ は $n = 0, 1, 2, 3, 4$ である。 これらを $s$ の式に代入すると、 $n=0$ のとき、$s = \frac{\pi-1}{5}$ $n=1$ のとき、$s = \frac{3\pi-1}{5}$ $n=2$ のとき、$s = \frac{5\pi-1}{5}$ $n=3$ のとき、$s = \frac{7\pi-1}{5}$ $n=4$ のとき、$s = \frac{9\pi-1}{5}$

以上より、求める $s$ の値はこれらすべてを合わせたものとなる。

(3)

与えられた連立方程式は以下の通りである。

$$\begin{cases} \cos s - \cos t = 0 \\ \sin 5s = \sin 5t \end{cases}$$

第1式に公式を適用すると、

$$-2 \sin \frac{s+t}{2} \sin \frac{s-t}{2} = 0$$

ここで、条件 $0 \leqq s < t < 2\pi$ より、

$$0 < s+t < 4\pi, \quad -2\pi < s-t < 0$$

各辺を2で割ると、

$$0 < \frac{s+t}{2} < 2\pi, \quad -\pi < \frac{s-t}{2} < 0$$

$-\pi < \frac{s-t}{2} < 0$ の範囲において $\sin \frac{s-t}{2} = 0$ となることはない。 よって、$\sin \frac{s+t}{2} = 0$ が成り立つ必要があり、$0 < \frac{s+t}{2} < 2\pi$ より、

$$\frac{s+t}{2} = \pi \implies t = 2\pi - s$$

また、これを $s < t$ に代入すると、

$$s < 2\pi - s \implies 2s < 2\pi \implies s < \pi$$

これと $s \geqq 0$ を合わせて、$0 \leqq s < \pi$ を得る。 次に、$t = 2\pi - s$ を第2式 $\sin 5s = \sin 5t$ に代入する。

$$\sin 5s = \sin 5(2\pi - s)$$

$$\sin 5s = \sin (10\pi - 5s)$$

$$\sin 5s = -\sin 5s$$

$$2 \sin 5s = 0 \implies \sin 5s = 0$$

$0 \leqq s < \pi$ より $0 \leqq 5s < 5\pi$ であるから、これを満たす $5s$ の値は、

$$5s = 0, \pi, 2\pi, 3\pi, 4\pi$$

$$s = 0, \frac{\pi}{5}, \frac{2\pi}{5}, \frac{3\pi}{5}, \frac{4\pi}{5}$$

これらに対応する $t$ は $t = 2\pi - s$ より順に、

$$t = 2\pi, \frac{9\pi}{5}, \frac{8\pi}{5}, \frac{7\pi}{5}, \frac{6\pi}{5}$$

ここで、問題の条件 $t < 2\pi$ を満たす必要があるため、$(s, t) = (0, 2\pi)$ の組は不適である。 残りの組はすべて $0 \leqq s < t < 2\pi$ の条件を満たす。

解説

和と差の積の公式を利用して、三角方程式を積の形に持ち込む典型的な問題である。 (1) の方程式 $\sin x = \sin y$ の一般解は、単位円上の動径の対称性を考えると図形的にも明らかであるが、本問では公式を利用して論理的に導出する流れが求められている。 (2) や (3) では、変数のとりうる範囲に注意しながら一般解から具体的な解を絞り込む必要がある。(3) においては、$\sin \frac{s-t}{2} = 0$ が不適になることや、最後に $t < 2\pi$ の条件によって $(s, t) = (0, 2\pi)$ を除外する点に注意したい。

答え

(1) $n$ を整数として、$y = x + 2n\pi, -x + (2n+1)\pi$

(2) $s = 2\pi - 1, \frac{\pi-1}{5}, \frac{3\pi-1}{5}, \frac{5\pi-1}{5}, \frac{7\pi-1}{5}, \frac{9\pi-1}{5}$

(3) $(s, t) = \left(\frac{\pi}{5}, \frac{9\pi}{5}\right), \left(\frac{2\pi}{5}, \frac{8\pi}{5}\right), \left(\frac{3\pi}{5}, \frac{7\pi}{5}\right), \left(\frac{4\pi}{5}, \frac{6\pi}{5}\right)$