数学2 三角関数 問題 93 解説

方針・初手

3つの変数 $\alpha, \beta, \gamma$ には $\alpha+\beta+\gamma=\pi$ という関係があるため、条件式を用いて1つの変数を消去するのが定石である。 対称性を活かして $\gamma = \pi - (\alpha+\beta)$ を代入し、三角関数の和積の公式や倍角の公式を用いて式を整理し、符号を判定しやすい積の形や平方の形を作り出す。

解法1

$\alpha+\beta+\gamma = \pi$ より $\gamma = \pi - (\alpha+\beta)$ であるから、与式の左辺を変形する。

$$\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = \cos \alpha + \cos \beta + \cos(\pi - (\alpha+\beta))$$

和積の公式 $\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$ と、還元公式 $\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta$ を用いると、

$$\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} - \cos(\alpha+\beta)$$

さらに、倍角の公式 $\cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1$ より $\cos(\alpha+\beta) = 2\cos^2\frac{\alpha+\beta}{2} - 1$ であるから、

$$\begin{aligned} \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma &= 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} - \left( 2\cos^2\frac{\alpha+\beta}{2} - 1 \right) \\ &= 1 + 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2} \left( \cos\frac{\alpha-\beta}{2} - \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \right) \end{aligned}$$

ここで、$\alpha+\beta = \pi - \gamma$ より、

$$\cos\frac{\alpha+\beta}{2} = \cos\left( \frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2} \right) = \sin\frac{\gamma}{2}$$

また、括弧内について和積の公式 $\cos A - \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$ を用いると、

$$\begin{aligned} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} - \cos\frac{\alpha+\beta}{2} &= -2\sin\frac{\frac{\alpha-\beta}{2} + \frac{\alpha+\beta}{2}}{2} \sin\frac{\frac{\alpha-\beta}{2} - \frac{\alpha+\beta}{2}}{2} \\ &= -2\sin\frac{\alpha}{2} \sin\left(-\frac{\beta}{2}\right) \\ &= 2\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2} \end{aligned}$$

これらを代入して整理すると、

$$\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 1 + 4\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}$$

条件より $\alpha \geqq 0, \beta \geqq 0, \gamma \geqq 0$ であり、$\alpha+\beta+\gamma = \pi$ を満たすので、それぞれの角のとり得る範囲は $0 \leqq \alpha \leqq \pi, 0 \leqq \beta \leqq \pi, 0 \leqq \gamma \leqq \pi$ である。 したがって、

$$0 \leqq \frac{\alpha}{2} \leqq \frac{\pi}{2}, \quad 0 \leqq \frac{\beta}{2} \leqq \frac{\pi}{2}, \quad 0 \leqq \frac{\gamma}{2} \leqq \frac{\pi}{2}$$

この範囲においてサインは非負であるから、$\sin\frac{\alpha}{2} \geqq 0, \sin\frac{\beta}{2} \geqq 0, \sin\frac{\gamma}{2} \geqq 0$ となる。 ゆえに $4\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2} \geqq 0$ であり、

$$\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma \geqq 1$$

が成り立つことが示された。

解法2

解法1の途中までの変形により、次式を得る。

$$\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} - 2\cos^2\frac{\alpha+\beta}{2} + 1$$

ここで、$A = \frac{\alpha+\beta}{2}, B = \frac{\alpha-\beta}{2}$ とおく。 条件 $\alpha \geqq 0, \beta \geqq 0, \gamma \geqq 0$ と $\alpha+\beta+\gamma=\pi$ から、各変数の範囲を調べる。 $\gamma = \pi - 2A \geqq 0$ より、$A \leqq \frac{\pi}{2}$ である。 また、$\alpha = A+B \geqq 0, \beta = A-B \geqq 0$ より、$-A \leqq B \leqq A$、すなわち $|B| \leqq A$ である。 $\alpha \geqq 0, \beta \geqq 0$ より $\alpha+\beta \geqq 0$ であるから、$A \geqq 0$ である。 以上より、$A, B$ のとり得る範囲は

$$0 \leqq |B| \leqq A \leqq \frac{\pi}{2}$$

となる。 関数 $y = \cos x$ は $0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ において単調減少であり、かつ非負であるから、

$$\cos B = \cos|B| \geqq \cos A \geqq 0$$

が成り立つ。両辺に非負の値 $2\cos A$ を掛けると、

$$2\cos A \cos B \geqq 2\cos^2 A$$

したがって、与式は次のように評価できる。

$$\begin{aligned} \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma &= 2\cos A \cos B - 2\cos^2 A + 1 \\ &\geqq 2\cos^2 A - 2\cos^2 A + 1 \\ &= 1 \end{aligned}$$

以上より、$\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma \geqq 1$ が示された。

解説

本問は、三角形の内角に関する等式として頻出の $\cos A + \cos B + \cos C = 1 + 4\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}$ を背景とした不等式証明である。 通常の三角形では各内角は正であるが、本問では $0$ が許容されていることに注意する。 解法1のように有名恒等式を自力で導出して符号を判定するのが最も見通しがよい。一方、解法2のように和と差の変数変換を行い、コサインの単調減少性を利用して直接不等式評価をするアプローチも論理的で強力である。 等号成立条件は、解法1の $\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2} = 0$ から分かるように、$\alpha, \beta, \gamma$ のうち少なくとも1つが $0$ となるときである。

答え

$\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 1 + 4\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}$ などの変形を通じ、各角の範囲から第2項以降が非負となることを示し、与不等式が成り立つことを証明した。