数学2 三角関数 問題 94 解説

方針・初手

(1) $g(t)$ の定義式にある $\cos 2t$ と $\cos 3t$ に、2倍角の公式と3倍角の公式を適用し、$g(t)$ を $\cos t$ の多項式として表す。 (2) 両辺の式について、積和の公式を利用して展開する。$\theta = \frac{\pi}{7}$ より $7\theta = \pi$ となることを利用し、角を揃えて両辺が一致することを示す。 (3) (2) で示した等式を整理し、$\cos\theta \neq -1$ を用いて $2g(\theta) - 1 = 0$ を導く。これと (1) の結果を結びつける。

解法1

(1) 2倍角の公式および3倍角の公式より、

$$\cos 2t = 2\cos^2 t - 1$$

$$\cos 3t = 4\cos^3 t - 3\cos t$$

これらを $g(t)$ の定義式に代入する。

$$\begin{aligned} g(t) &= (4\cos^3 t - 3\cos t) - (2\cos^2 t - 1) + \cos t \\ &= 4\cos^3 t - 2\cos^2 t - 2\cos t + 1 \end{aligned}$$

したがって、等式の左辺は次のように変形できる。

$$\begin{aligned} 2g(t) - 1 &= 2(4\cos^3 t - 2\cos^2 t - 2\cos t + 1) - 1 \\ &= 8\cos^3 t - 4\cos^2 t - 4\cos t + 1 \end{aligned}$$

一方、等式の右辺は $f(x) = x^3 - x^2 - 2x + 1$ に $x = 2\cos t$ を代入すると、

$$\begin{aligned} f(2\cos t) &= (2\cos t)^3 - (2\cos t)^2 - 2(2\cos t) + 1 \\ &= 8\cos^3 t - 4\cos^2 t - 4\cos t + 1 \end{aligned}$$

よって、$2g(t) - 1 = f(2\cos t)$ が成り立つ。（証明終）

(2) 等式の左辺について、積和の公式を用いると次のように展開できる。

$$\begin{aligned} 2g(\theta)\cos\theta &= 2(\cos 3\theta - \cos 2\theta + \cos \theta)\cos\theta \\ &= 2\cos 3\theta\cos\theta - 2\cos 2\theta\cos\theta + 2\cos^2\theta \\ &= (\cos 4\theta + \cos 2\theta) - (\cos 3\theta + \cos \theta) + (\cos 2\theta + 1) \\ &= \cos 4\theta - \cos 3\theta + 2\cos 2\theta - \cos \theta + 1 \end{aligned}$$

ここで $\theta = \frac{\pi}{7}$ より $7\theta = \pi$ であるから、$4\theta = \pi - 3\theta$ となる。 したがって、

$$\cos 4\theta = \cos(\pi - 3\theta) = -\cos 3\theta$$

これを代入すると、左辺は以下のように整理される。

$$2g(\theta)\cos\theta = -2\cos 3\theta + 2\cos 2\theta - \cos \theta + 1$$

次に、等式の右辺を展開して整理する。

$$\begin{aligned} 1 + \cos\theta - 2g(\theta) &= 1 + \cos\theta - 2(\cos 3\theta - \cos 2\theta + \cos\theta) \\ &= -2\cos 3\theta + 2\cos 2\theta - \cos\theta + 1 \end{aligned}$$

以上より、左辺と右辺の式が一致するため、$2g(\theta)\cos(\theta) = 1 + \cos\theta - 2g(\theta)$ が成り立つ。（証明終）

(3) (2) で示した等式を変形する。

$$\begin{aligned} 2g(\theta)\cos\theta + 2g(\theta) &= 1 + \cos\theta \\ 2g(\theta)(\cos\theta + 1) &= \cos\theta + 1 \\ (2g(\theta) - 1)(\cos\theta + 1) &= 0 \end{aligned}$$

$\theta = \frac{\pi}{7}$ のとき、$\cos\theta \neq -1$ であるから、$\cos\theta + 1 \neq 0$ となる。 両辺を $\cos\theta + 1$ で割ると、

$$2g(\theta) - 1 = 0$$

(1) の結果から $2g(\theta) - 1 = f(2\cos\theta)$ であるため、

$$f(2\cos\theta) = 0$$

すなわち、$x = 2\cos\theta = 2\cos\frac{\pi}{7}$ は3次方程式 $f(x) = 0$ の解である。（証明終）

解法2

(2)の別解 示すべき等式 $2g(\theta)\cos\theta = 1 + \cos\theta - 2g(\theta)$ は、同値変形により

$$(2g(\theta) - 1)(\cos\theta + 1) = 0$$

となる。$\theta = \frac{\pi}{7}$ のとき $\cos\theta + 1 \neq 0$ であるため、これは $2g(\theta) - 1 = 0$ と同値である。 この左辺に $\sin\theta$ ($\neq 0$) を掛けた式を考える。積和の公式を用いて展開すると、

$$\begin{aligned} (2g(\theta) - 1)\sin\theta &= \{2(\cos 3\theta - \cos 2\theta + \cos\theta) - 1\}\sin\theta \\ &= 2\sin\theta\cos 3\theta - 2\sin\theta\cos 2\theta + 2\sin\theta\cos\theta - \sin\theta \\ &= (\sin 4\theta - \sin 2\theta) - (\sin 3\theta - \sin\theta) + \sin 2\theta - \sin\theta \\ &= \sin 4\theta - \sin 3\theta \end{aligned}$$

ここで $7\theta = \pi$ より $4\theta = \pi - 3\theta$ であるから、

$$\sin 4\theta = \sin(\pi - 3\theta) = \sin 3\theta$$

したがって、$\sin 4\theta - \sin 3\theta = 0$ となる。 $\sin\theta \neq 0$ より $2g(\theta) - 1 = 0$ が成り立つため、同値な等式である $2g(\theta)\cos\theta = 1 + \cos\theta - 2g(\theta)$ も成り立つ。（証明終）

解説

正多角形に由来する三角関数の値を解にもつ方程式（円分方程式の関連）を誘導形式で導く典型的な問題である。 (1) はチェビシェフ多項式の導出そのものであり、基本公式を正しく用いて計算ミスを防ぐことが求められる。 (2) において、解法1のように両辺をそれぞれ $\cos(k\theta)$ の一次結合の形にして比較するのは、三角関数の等式証明において非常に有効な手法である。解法2のように、示すべき目標から逆算して $2g(\theta)-1=0$ を導く方針に気づけると、積和計算が少し楽になり、(3) への接続もスムーズになる。 (3) は因数分解の形 $(2g(\theta) - 1)(\cos\theta + 1) = 0$ を見抜けるかどうかが鍵である。

答え

(1) （証明は解法1を参照）

(2) （証明は解法1または解法2を参照）

(3) （証明は解法1を参照）