数学2 三角関数 問題 95 解説

方針・初手

三角形の辺と角の条件が与えられているため、正弦定理を用いて辺の長さ $b, c$ の関係を角の正弦（$\sin$）で表すことを考える。

$\angle \mathrm{ABC} = \theta$ とおくことで、示すべき不等式 $c < nb$ は、純粋な三角関数の不等式 $\sin n\theta < n\sin\theta$ に帰着される。

この不等式を示すために、差をとって微分し関数の増減を調べる方法、有名関数 $\frac{\sin x}{x}$ の単調性を利用する方法、あるいは自然数 $n$ に関する命題と捉えて数学的帰納法を用いる方法などが考えられる。

解法1

$\angle \mathrm{ABC} = \theta$ とおく。条件 $\angle \mathrm{ACB} = n\angle \mathrm{ABC}$ より、$\angle \mathrm{ACB} = n\theta$ である。

三角形の内角の和は $\pi$ であるから、$\angle \mathrm{BAC} = \pi - (n+1)\theta > 0$ となり、$\theta$ の満たす範囲は以下のようになる。

$$0 < \theta < \frac{\pi}{n+1}$$

三角形 ABC において正弦定理を用いると、以下の等式が成り立つ。

$$\frac{b}{\sin\theta} = \frac{c}{\sin n\theta}$$

これを $c$ について解くと、次のように表せる。

$$c = \frac{\sin n\theta}{\sin\theta} b$$

ここで、$0 < \theta < \frac{\pi}{n+1} < \pi$ より $\sin\theta > 0$ である。したがって、示すべき不等式 $c < nb$ は以下の不等式と同値である。

$$\frac{\sin n\theta}{\sin\theta} b < nb$$

$$\sin n\theta < n\sin\theta$$

以下、この不等式 $\sin n\theta < n\sin\theta$ が成り立つことを示す。関数 $f(\theta)$ を以下のように定める。

$$f(\theta) = n\sin\theta - \sin n\theta$$

$\theta$ で微分すると、導関数は以下のようになる。

$$f'(\theta) = n\cos\theta - n\cos n\theta = n(\cos\theta - \cos n\theta)$$

ここで、$n \ge 2$ の自然数であり、$0 < \theta < \frac{\pi}{n+1}$ であることから、以下の大小関係が成り立つ。

$$0 < \theta < n\theta < \frac{n}{n+1}\pi < \pi$$

関数 $y = \cos x$ は $0 < x < \pi$ の範囲において単調減少であるから、$\theta < n\theta$ より $\cos\theta > \cos n\theta$ となる。

したがって、常に $f'(\theta) > 0$ となり、$f(\theta)$ は $0 < \theta < \frac{\pi}{n+1}$ において単調に増加する。

また、$f(0) = n\sin 0 - \sin 0 = 0$ であるから、$0 < \theta < \frac{\pi}{n+1}$ において以下の不等式が成り立つ。

$$f(\theta) > f(0) = 0$$

すなわち $n\sin\theta - \sin n\theta > 0$ であり、$\sin n\theta < n\sin\theta$ が示された。

これと正弦定理から得られた関係式より、$c < nb$ が成り立つ。

解法2

$\angle \mathrm{ABC} = \theta$ とおく。解法1と同様に、三角形の内角の条件から $0 < \theta < \frac{\pi}{n+1}$ であり、正弦定理より以下の式を得る。

$$c = \frac{\sin n\theta}{\sin\theta} b$$

これより、$c < nb$ を示すためには、$\frac{\sin n\theta}{\sin\theta} < n$ すなわち $\frac{\sin n\theta}{n\theta} < \frac{\sin\theta}{\theta}$ を示せばよい。そこで、関数 $g(x) = \frac{\sin x}{x}$ （$0 < x < \pi$）を考える。

$g(x)$ を $x$ で微分すると、導関数は以下のようになる。

$$g'(x) = \frac{x\cos x - \sin x}{x^2}$$

ここで、分子の関数を $h(x) = x\cos x - \sin x$ とおいて微分する。

$$h'(x) = \cos x - x\sin x - \cos x = -x\sin x$$

$0 < x < \pi$ において $x > 0$ かつ $\sin x > 0$ であるから、$h'(x) < 0$ となる。

よって $h(x)$ は $0 < x < \pi$ において単調に減少し、$h(0) = 0$ であることから $h(x) < 0$ が成り立つ。

したがって $g'(x) < 0$ となり、$g(x)$ は $0 < x < \pi$ において単調減少関数であることがわかる。

いま、$n \ge 2$ より $0 < \theta < n\theta < \frac{n}{n+1}\pi < \pi$ であるから、$g(\theta) > g(n\theta)$ が成り立つ。すなわち、以下の不等式を得る。

$$\frac{\sin\theta}{\theta} > \frac{\sin n\theta}{n\theta}$$

両辺に正の数 $n\theta\sin\theta$ を掛けると、以下の不等式となる。

$$n\sin\theta > \sin n\theta$$

正弦定理から得られた関係式を用いると、以下のように題意の不等式が導かれる。

$$c = b\frac{\sin n\theta}{\sin\theta} < b\frac{n\sin\theta}{\sin\theta} = nb$$

解法3

$\angle \mathrm{ABC} = \theta$ とおく。解法1と同様に、三角形の内角の条件から $0 < \theta < \frac{\pi}{n+1}$ であり、正弦定理より $c = \frac{\sin n\theta}{\sin\theta} b$ となる。したがって、$\sin n\theta < n\sin\theta$ を示せばよい。

数学的帰納法を用いて、任意の自然数 $n \ge 2$ に対して $\sin n\theta < n\sin\theta$ が成り立つことを示す。ただし、前提として $n \ge 2$ のとき $\theta$ は $0 < (n+1)\theta < \pi$ を満たすものとする。

(i) $n=2$ のとき

条件 $0 < 3\theta < \pi$ より、$0 < \theta < \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2}$ である。2倍角の公式より以下の等式が成り立つ。

$$\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$$

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ において $0 < \cos\theta < 1$ であり、また $\sin\theta > 0$ であるから、以下の不等式が成り立つ。

$$\sin 2\theta < 2\sin\theta \cdot 1 = 2\sin\theta$$

したがって、$n=2$ のとき不等式は成立する。

(ii) $n=k$ ($k \ge 2$) のとき成立すると仮定する

すなわち、$0 < (k+1)\theta < \pi$ を満たす任意の $\theta$ に対して、$\sin k\theta < k\sin\theta$ が成り立つと仮定する。

$n=k+1$ のとき、考える角 $\theta$ は問題の条件より $0 < (k+2)\theta < \pi$ を満たす。このとき、当然 $0 < (k+1)\theta < \pi$ も満たすため、帰納法の仮定を適用できる。

加法定理を用いると、以下の等式が成り立つ。

$$\sin(k+1)\theta = \sin(k\theta + \theta) = \sin k\theta\cos\theta + \cos k\theta\sin\theta$$

ここで、$0 < (k+2)\theta < \pi$ より $0 < \theta < \frac{\pi}{k+2} < \frac{\pi}{2}$ であるから、$\cos\theta > 0$ である。帰納法の仮定 $\sin k\theta < k\sin\theta$ と $\cos\theta > 0$ を用いると、以下の不等式が成り立つ。

$$\sin k\theta\cos\theta + \cos k\theta\sin\theta < (k\sin\theta)\cos\theta + \cos k\theta\sin\theta = \sin\theta(k\cos\theta + \cos k\theta)$$

さらに、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ より $\cos\theta < 1$ であり、また常に $\cos k\theta \le 1$ であるから、以下の不等式が成り立つ。

$$k\cos\theta + \cos k\theta < k \cdot 1 + 1 = k+1$$

$\sin\theta > 0$ であるから、両辺に $\sin\theta$ を掛けて以下の不等式を得る。

$$\sin\theta(k\cos\theta + \cos k\theta) < (k+1)\sin\theta$$

したがって、$\sin(k+1)\theta < (k+1)\sin\theta$ となり、$n=k+1$ のときも不等式は成立する。

(i)、(ii) より、$2$ 以上の自然数 $n$ について $\sin n\theta < n\sin\theta$ が示された。

以上より、正弦定理から得られた式において以下の不等式が成り立つ。

$$c = \frac{\sin n\theta}{\sin\theta} b < \frac{n\sin\theta}{\sin\theta} b = nb$$

解説

図形の辺と角の関係が与えられた場合、正弦定理や余弦定理を用いて要素をどちらかに統一して考えるのが定石である。今回は「向かい合う辺と角」のペアが2つ与えられているため、正弦定理を用いるのが自然な発想である。

正弦定理を用いることで、幾何的な不等式の証明は純粋な三角関数の不等式 $\sin n\theta < n\sin\theta$ の証明に帰着される。この不等式の証明には、本解答で示したようにいくつかの有効なアプローチがある。

• 差をとって微分し、導関数の符号から関数の増減を調べる（解法1）
• 極限などの分野でも頻出の関数 $\frac{\sin x}{x}$ の単調減少性を利用する（解法2）
• 自然数 $n$ に関する命題と捉え、数学的帰納法を用いて順次証明する（解法3）

いずれの手法も難関大の数学では頻出の考え方であり、どの手法を選んでも論証の不備なく最後まで記述しきれるようにしておくことが望ましい。特に $\frac{\sin x}{x}$ が $x>0$ で単調減少である事実は、応用範囲が広いため引き出しに入れておくとよい。

答え

与えられた条件と正弦定理より、題意の不等式 $c < nb$ が成り立つことを示した。