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数学2 三角関数問題 98 解説

方針・初手

弧度法における角 $1, 2, 3, 4$ （ラジアン）が単位円上のどの象限に属するかを調べ、各サインの値の正負を判定する。正となるものについては、$\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$ の性質を用いてすべての角を $0$ から $\frac{\pi}{2}$ の範囲に帰着させ、$\sin x$ の単調増加性を利用して大小を比較する。

解法1

円周率 $\pi$ について、$3 < \pi < 4$ であることを利用する。

各角度がどの範囲にあるかを調べる。

$3 < \pi$ より $\frac{3}{2} < \frac{\pi}{2}$ であるから、

$$0 < 1 < \frac{\pi}{2}$$

$$\frac{\pi}{2} < \frac{3}{2} + \frac{1}{2} < \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi \implies \frac{\pi}{2} < 2 < \pi$$

$$\frac{\pi}{2} < 3 < \pi$$

$$\pi < 4 < \pi + 1 < \pi + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2} \implies \pi < 4 < \frac{3\pi}{2}$$

したがって、角 $1$ は第1象限、角 $2, 3$ は第2象限、角 $4$ は第3象限の角である。

これより、各正弦の値の正負は以下のようになる。

$$\sin 1 > 0, \quad \sin 2 > 0, \quad \sin 3 > 0, \quad \sin 4 < 0$$

よって、負となるものは $\sin 4$ である。

次に、正となる $\sin 1, \sin 2, \sin 3$ の大小を比較する。

$\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$ の公式を用いて、角を $0$ から $\frac{\pi}{2}$ の範囲に変換する。

$$\sin 2 = \sin(\pi - 2)$$

$$\sin 3 = \sin(\pi - 3)$$

ここで、変換した角 $\pi - 3$、$1$、$\pi - 2$ の大小関係を調べる。

$1$ と $\pi - 3$ の差をとると、$\pi < 4$ より、

$$1 - (\pi - 3) = 4 - \pi > 0 \implies \pi - 3 < 1$$

$\pi - 2$ と $1$ の差をとると、$\pi > 3$ より、

$$(\pi - 2) - 1 = \pi - 3 > 0 \implies 1 < \pi - 2$$

$\frac{\pi}{2}$ と $\pi - 2$ の差をとると、$\pi < 4$ より、

$$\frac{\pi}{2} - (\pi - 2) = 2 - \frac{\pi}{2} = \frac{4 - \pi}{2} > 0 \implies \pi - 2 < \frac{\pi}{2}$$

また、$\pi > 3$ より $\pi - 3 > 0$ であるから、

$$0 < \pi - 3 < 1 < \pi - 2 < \frac{\pi}{2}$$

が成り立つ。

関数 $f(x) = \sin x$ は、区間 $0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ において単調増加であるため、

$$\sin(\pi - 3) < \sin 1 < \sin(\pi - 2)$$

すなわち、

$$\sin 3 < \sin 1 < \sin 2$$

となる。

よって、正となるものの最小値は $\sin 3$ であり、最大値は $\sin 2$ である。

解説

弧度法における整数角の評価を問う典型問題である。$1$ ラジアンは約 $57.3^\circ$ であり、$\pi \approx 3.14$ であることを念頭に置くと見通しが立てやすい。厳密な解答を作成する際は、$\pi$ の値として $3 < \pi < 4$ という不等式を用いれば十分である。三角関数の大小比較においては、変数を単調な区間（今回は $0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$）に揃えてから比較するのが定石である。