数学2 三角関数 問題 99 解説

方針・初手

与えられた不等式は絶対値を含む三角関数の不等式である。まずは絶対値を外し、和の角 $x+y$ を一つの変数と見なして、三角不等式を解くことから始める。$0 \leqq x \leqq \pi$、$0 \leqq y \leqq \pi$ という条件から $x+y$ の取りうる値の範囲を求め、その範囲内で不等式を満たす $x+y$ の範囲を特定する。その後、$xy$ 平面上の領域として図示を行う。

解法1

与えられた不等式は以下のように変形できる。

$$|2 \sin(x + y)| \geqq 1$$

$$|\sin(x + y)| \geqq \frac{1}{2}$$

$$\sin(x + y) \leqq -\frac{1}{2} \quad \text{または} \quad \sin(x + y) \geqq \frac{1}{2}$$

ここで、$0 \leqq x \leqq \pi$ かつ $0 \leqq y \leqq \pi$ であるから、各辺を足し合わせると $x+y$ の取りうる値の範囲は以下のようになる。

$$0 \leqq x + y \leqq 2\pi$$

この範囲において、$\sin(x+y) \geqq \frac{1}{2}$ を解くと以下のようになる。

$$\frac{\pi}{6} \leqq x + y \leqq \frac{5\pi}{6}$$

同様に、$\sin(x+y) \leqq -\frac{1}{2}$ を解くと以下のようになる。

$$\frac{7\pi}{6} \leqq x + y \leqq \frac{11\pi}{6}$$

以上より、求める領域は連立不等式

$$\begin{cases} 0 \leqq x \leqq \pi \\ 0 \leqq y \leqq \pi \\ \frac{\pi}{6} \leqq x + y \leqq \frac{5\pi}{6} \quad \text{または} \quad \frac{7\pi}{6} \leqq x + y \leqq \frac{11\pi}{6} \end{cases}$$

を満たす点 $(x, y)$ の集合である。

$x+y = k$ （$k$ は定数）は傾き $-1$、$y$ 切片 $k$ の直線を表す。 これを $0 \leqq x \leqq \pi$、$0 \leqq y \leqq \pi$ の正方形領域内に図示する。

(i) $\frac{\pi}{6} \leqq x + y \leqq \frac{5\pi}{6}$ の部分 直線 $x+y = \frac{\pi}{6}$ は、$x$ 軸、 $y$ 軸とそれぞれ点 $\left(\frac{\pi}{6}, 0\right)$、$\left(0, \frac{\pi}{6}\right)$ で交わる。 直線 $x+y = \frac{5\pi}{6}$ は、$x$ 軸、 $y$ 軸とそれぞれ点 $\left(\frac{5\pi}{6}, 0\right)$、$\left(0, \frac{5\pi}{6}\right)$ で交わる。 この範囲は、これらの直線で挟まれた領域である。

(ii) $\frac{7\pi}{6} \leqq x + y \leqq \frac{11\pi}{6}$ の部分 直線 $x+y = \frac{7\pi}{6}$ は、直線 $x = \pi$ と点 $\left(\pi, \frac{\pi}{6}\right)$ で交わり、直線 $y = \pi$ と点 $\left(\frac{\pi}{6}, \pi\right)$ で交わる。 直線 $x+y = \frac{11\pi}{6}$ は、直線 $x = \pi$ と点 $\left(\pi, \frac{5\pi}{6}\right)$ で交わり、直線 $y = \pi$ と点 $\left(\frac{5\pi}{6}, \pi\right)$ で交わる。 この範囲は、これらの直線で挟まれた領域である。

解説

$x+y$ を一つの変数 $t$ に置き換えて三角不等式を解く、領域図示の標準的な問題である。境界となる線はすべて傾きが $-1$ の平行な直線群となるため、基本となる正方形の枠（$0 \leqq x \leqq \pi$, $0 \leqq y \leqq \pi$）に対して、どの位置に直線を引くべきかを交点の座標から正確に把握することが重要である。領域を図示する際は、境界線が領域に含まれるかどうか（今回は等号付き不等式なので含まれる）を明記し、頂点の座標を忘れずに書き込む必要がある。

答え

求める領域は、以下の連立不等式で表される領域である。

$$\begin{cases} 0 \leqq x \leqq \pi \\ 0 \leqq y \leqq \pi \\ \frac{\pi}{6} \leqq x + y \leqq \frac{5\pi}{6} \quad \text{または} \quad \frac{7\pi}{6} \leqq x + y \leqq \frac{11\pi}{6} \end{cases}$$

これを $xy$ 平面上に図示すると、以下の2つの多角形の周および内部となる。

4点 $\left(\frac{\pi}{6}, 0\right)$、$\left(\frac{5\pi}{6}, 0\right)$、$\left(0, \frac{5\pi}{6}\right)$、$\left(0, \frac{\pi}{6}\right)$ を頂点とする四角形

4点 $\left(\pi, \frac{\pi}{6}\right)$、$\left(\pi, \frac{5\pi}{6}\right)$、$\left(\frac{5\pi}{6}, \pi\right)$、$\left(\frac{\pi}{6}, \pi\right)$ を頂点とする四角形

境界線はすべて含む。